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ExoSpé math TS (PGCD et divisibilité)



  1. #1
    maclinck

    ExoSpé math TS (PGCD et divisibilité)


    ------

    Bonjour, je bloque sur un exercice de spé math. Voici l'ennoncé :


    n désigne un entier naturel non nul

    a=7n²+4
    b=n²+1

    1) démontrer que tout diviseur commun à a et à b est un diviseur de 3

    2)a) expliquer pk si PGCD(a,b)=3, alors il existe un entier naturel k tel que n²+1=3k

    2)b) déterminer PGCD(n,n+2) selon la parité de n

    C'est en fait la question 1 qui coince.
    Je ne sais pas comment procéder, si quelqu'un à une petite idée merci de me donner une piste
    a+

    -----

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  3. #2
    SoaD25

    Re : ExoSpé math TS (PGCD et divisibilité)

    Si d divise a et b, alors d divise toute combinaison linéaire de a et b.

    En particulier d divise ...

  4. #3
    maclinck

    Re : ExoSpé math TS (PGCD et divisibilité)

    Ton aide m'a été utile.

    J'ai donc dit (en suivant ton exemple) :
    d entier naturel
    Si d l a et d l b alors d l 7b-a
    ...
    ...
    on arrive a 3 = kd (k en naturel)
    Et un petit blabla pour dire que d divise a b et 3 ^^

    Merci

    Par contre pour la question 2)b) dans le cas où n est impaire je souhaiterais avoir confirmation sur la rédaction.

    Si n est impair on a :
    n=2k+1 (k naturel)
    n+2=2k+3

    Si on veut suivre l'algorythme d'euclide, on à :
    2k+3 = 2k+1 + 2
    D'où PGCD(2k+3 , 2k+1) = PGCD(2k+1 , 2)
    et 2k+1 est impair et 2 est pair, donc ces deux nombres sont premiers entre eux d'où PGCD(n,n+2) = 1

    Est-ce correct ? Merci

  5. #4
    SoaD25

    Re : ExoSpé math TS (PGCD et divisibilité)

    Tu obtiens que d= pgcd(n,n+2) divise 2. donc d = 1 ou d =2

    Or si n impair alors n+2 impair donc d = 1 car 2 ne divise aucun nombre impair

  6. #5
    maclinck

    Re : ExoSpé math TS (PGCD et divisibilité)

    Merdci Bonne journée

  7. A voir en vidéo sur Futura

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