[terminale S] Recurrence et suite.

[invitecb275283]

Bonsoir, je perds pas de temps.. il ne me reste plus qu'un jour pour 7 exos

Énoncé :
Une suite (Un) définie par : U(o)=1+(1/2) ; U(1)=1+(1/(2+(1/2)))
U(2)=1+(1/(2+(1/(2+(1/2)))))

De plus on sait que :
U(n+1) - racine(2) = (1-racine(2))*((U(n)-racine(2))/(U(n)+1))

|U(n+1) - racine(2)| =< (racine(2) - 1) * |U(n) - racine(2)|

4. Montrer par récurrence que :
|U(n) - racine(2)| =< K^n * (U(0) - racine(2)) avec K=racine(2)-1

Réponse trouvée pour le moment :

-initialisation :
|U(0) - racine(2)| =< (racine(2) - 1)^0 * (U(0) - racine(2)
<=> |1+(1/2)-racine(2)| =< 1+(1/2)-racine(2)
VRAI

-hérédité :

et là je galère et j'arrive pas -__-"... comme d'habitude !

Merci d'avance !
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[FARfadet00]

bonjour,

pour l'hérédité, il faut déjà poser l'hypothèse de récurrence :
On suppose que l'inégalité à démontrer est vraie pour un certain entier naturel n

après on démontre que c'est vrai pour n+1 :

on a donc :

et on sait que :

on peut donc écrire :

ce qui donne :

après, il reste plus qu'à conclure,
cordialement

[invitecb275283]

Merci =D !!
Il me reste une chose que je n'arrives pas a faire... Il me demande de trouver la limite de cette fonction (en +infini donc) et je n'ai aucune idée de comment la trouver ><" ! j'ai démontré que cette suite est convergente car décroissante et minorée par 1..

Normalement la limite devrait admettre 1 comme résultat, nosu sommes d'accord ? Mais comment le prouver ? =/

Merci encore

[inviteec9de84d]

Salut,

Normalement la limite devrait admettre 1 comme résultat, nosu sommes d'accord ? Mais comment le prouver ? =/

Pas nécessairement ! Tout ce que tu peux dire pour l'instant, c'est qu'il existe une limite

Pour la calculer, utilise donc ton inégalité (par passage à la limite)...........

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecb275283]

Pour la calculer, utilise donc ton inégalité (par passage à la limite)...........

Je n'ai pas compris

[invitecb275283]

Je n'ai pas compris

Heeeeeelp please !!!!!