Etude d'une fonction exponnentiel

[firstOlady]

Bonjour je suis en terminal S et j'ai du mal sur certaine question de mon DM de maths :

1. La fonction f définie sur R : f(x) = (2-x)e^x-1
a.Limites en +oo et -oo: j'ai trouvé donc pas de probleme

b.Calculer la dérivée de f et determiner son signe. Déduire les variations puis le tableau de variations de f: c'est fait.
c.Prouver que la fonction s'annule en deux valeurs alpha et beta et donner un encadrement: fait également.

d.Montrer que e^alpha=1/(2-alpha): réussi aussi.

C'est à partir de la que je n'y arrive plus:

2. Soit h la fonction définie sur R par h(x) = e^x-x

a.Calculer la dérivée sur R de h : Je trouve h'(x) = e^x-1

b.Démontrer que pour tous x, h(x) > 0. Et c'est la ou je n'y arrive vraiment pas je ne voit pas comment je pourrais démontrer ça.

3. Soit g(x) = (e^x-1) / (e^x-x)

a. Démontrer que la fonction g est définie sur R. La aussi je bloque complètement je vois vraiment pas comment faire.

b. Déterminer les limites en -oo et +oo. Pour la limite en -oo pas de problème je trouve 0- mais pour la limite en +oo je trouve une forme indeterminée j'ai essayé de changer la forme de la fonction mais sa donne toujours une forme indeterminée.

c. Calculer la dérivée. Je trouve g'(x) = [(2-x)e^x-1]/ (e^x-x)² On retrouve f(x)/ [h(x)]²
d.Etudier les variations de g et donner son tableau de variation. Pour cela je trouve g(x) croissant sur ]-oo;1] et décroissant sur ]1;+oo[. C'est correct?
Si quelqu'un pourrait m'aider sa serait gentil. Merci beaucoup!
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[Duke Alchemist]

Bonsoir et bienvenue.

2.b. Etudie la fonction h(x) à partir de sa dérivée. Montre qu'il y a un minimum et que celui-ci est positif.

3.a. Tu viens de montrer (ou au pire des cas, utilise-le) que e^x-x est positif pour tout x réel donc le dénominateur n'a pas de valeur interdite donc...

3.b. e^x est prépondérant par rapport à x, la limite est donc de e^x/e^x = 1.
Si tu n'es pas convaincue factorise par e^x au numérateur et au dénominateur et étudie les limites des termes entre parenthèses.

3.c. OK

3.d. J'ai un doute : alpha et bêta ne devraient-ils pas faire leur apparition ?
N'aurais-tu pas confondu variation de f et signe de f pour l'étude de g'(x) ?

Cordialement,
Duke.

[firstOlady]

2b. Je n'arrive pas à faire le tableau de signe de h'(x) et c'est ça qui me bloque pour la suite. Je ne devrais pas trouver négatif sur ]-oo;1] et positif sur ]1;-oo[ ?
3.a et 3b Je pense avoir compris
3d. Pour trouver le signe de g'(x) j'ai utilisé le signe de f(x) et de [h(x)]² pour trouver le signe de f(x)/[h(x)]² ce qui me donne positif sur ]-oo;1] et négatif sur ]1;+oo[. Je ne sais pas si c'était la bonne méthode et si je me suis pas trompée dans mon tableau

Merci beaucoup pour l'aide!

[Duke Alchemist]

2.b h'(x) = e^x-1, OK ?
Pour quelle valeur de x h'(x) = 0 ? Quel est le signe de h'(x) si x est inférieur à cette valeur ? même question si x est supérieur ?

3.d. Tu as déterminer deux valeur annulatrices (alpha et bêta) pour f qui vont forcément apparaître !
Quel est le signe de f avant alpha ?
entre alpha et bêta ?
et au-delà de bêta ?
Et là, tu auras le signe de g'(x) et donc la variation de g.
Vois-tu ton "erreur" ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[firstOlady]

2.b Pour h'(x)=0 je trouve e^x=1 donc négatif sur ]-oo;1] et positif sur ]1;+oo[ ?
3.d. Ahh ouiiiii j'ai compris! Je vois parfaitement mon erreur maintenant!
Merciii beaucoup!

[Duke Alchemist]

Eh ben voilà...

Tu vas, comme moi, pouvoir passer une bonne nuit maintenant.

[firstOlady]

Ah oui c'est sur je vais passer une bonne nuit maintenant
Bonne nuit à vous aussi et encore merci !