[TS] récurence et suite

[invite708a1c1e]

Bonjour à tous j'ai 2 éxo qui me pose problème et j'aimerais votre aide pour m'aiguiller
merci d'avance

I Démontrer par récurence 1+nx=<(1+x)^n avec x réel positif
Proposer une autre démonstration de ce réultat

Pour la récurrence :
Initialisation: pour n=0 le 1er membre vaut 1
et le deuxième vaut (1+x)=1
d'ou l'égalité

Hérédité
supposons que l'on ait 1+kx=< (1+x)^k pour k entier naturel
A t-on alors 1+(k+1)x=< (1+x)^(k+1) ?
Alors j'ai commencé comme ça mais je suis vraiment pas sure

(1+kx)(1+x)=< [(1+x)^k](1+x)
1+x(k+1)+kx²=< [(1+x)^k](1+x)
mais je sui bloqué alors je suis sure m'être trompé


II Soit la suite (Un)=2,135 135 135 ... 135

Je dois calculer U1 et U2 et exprimer Un en fonction de n
alors je pensais à ça
Un= 2+ 135/10^3+135/10^6+.... 135/10^(3n)
donc U1= 2+135/10^3=2.135
et U2=2.135 135
mais je bloque pour l'exprimer en fonction de n :s

Merci d'avance pour l'aide apportée
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[Flyingsquirrel]

Salut,

Hérédité
supposons que l'on ait 1+kx=< (1+x)^k pour k entier naturel
A t-on alors 1+(k+1)x=< (1+x)^(k+1) ?
Alors j'ai commencé comme ça mais je suis vraiment pas sure

(1+kx)(1+x)=< [(1+x)^k](1+x)
1+x(k+1)+kx²=< [(1+x)^k](1+x)
mais je sui bloqué alors je suis sure m'être trompé

Non, c'est bon. Pour conclure il suffit de dire que comme on a .

II Soit la suite (Un)=2,135 135 135 ... 135

Je dois calculer U1 et U2 et exprimer Un en fonction de n
alors je pensais à ça
Un= 2+ 135/10^3+135/10^6+.... 135/10^(3n)

Oui

mais je bloque pour l'exprimer en fonction de n :s

Ben l'expression que tu donnes est correcte et elle dépend de .

Si tu veux une formule plus compacte on peut faire apparaître la somme des termes d'une suite géométrique

puis utiliser la formule habituelle.

[invite708a1c1e]

Merci beaucoup pour votre réponse ^^
Pour le 2em exo en gros je peux dire que Un= 2+ (135.10^-3)n
parce que apès je dois calculer la limite donc je pensais faire
0<135.10^-3<1 donc lim q = 0 quand n tend vers +inf
donc lim Un= 2

[Flyingsquirrel]

Merci beaucoup pour votre réponse ^^
Pour le 2em exo en gros je peux dire que Un= 2+ (135.10^-3)n

Non, c'est faux. Il faut utiliser la formule permettant de calculer la somme des termes d'une suite géométrique pour obtenir une expression simple de

qui te permettra de passer à la limite.

donc lim Un= 2

Ça devrait te gêner de conclure que la suite tend vers 2 alors que tu sais que tout ses termes sont plus grands que !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite708a1c1e]

Donc avec ta méthode enfin si j'ai bien compris ça me fait :

Un =2+135(10^-3+(10^-3)^2+...+(10^-3)ⁿ)
S=2+135[U₁* (1-(10^-3)ⁿ⁺¹)/1-10^-3)
Après je calcule sa limite c'est ça ?

Pour mon 1er exo pour démontrer le résultat d'un autre manière je peux faire comment ?
dsl d'abuser de ton temps

[Flyingsquirrel]

Un =2+135(10^-3+(10^-3)^2+...+(10^-3)ⁿ)
S=2+135[U₁* (1-(10^-3)ⁿ⁺¹)/1-10^-3)
Après je calcule sa limite c'est ça ?

Oui. Attention quand même : appeler U₁ le premier de la suite géométrique ça n'est pas une super idée, on va le confondre avec le premier terme de la suite définie dans l'exercice.

Pour mon 1er exo pour démontrer le résultat d'un autre manière je peux faire comment ?

Par exemple en étudiant le signe d'une fonction bien choisie.

[invite708a1c1e]

Merci beaucoup ^^
Comment choisir une bonne fonction vu qu'il y a k et x en inconnue ?

[Flyingsquirrel]

Comment choisir une bonne fonction vu qu'il y a k et x en inconnue ?

On peut par exemple définir la fonction sur par . Répondre à la question revient alors à montrer que pour tout entier , pour tout réel .

[invite708a1c1e]

Je te remercie
je vais bosser ça demain correctement ^^
merci beaucoup
Bonne soirée