[TS] Dérivée, factorisation

[inviteed7e0503]

Bonsoir !

Je bloque actuellement sur un exo de dérivée pour lequel je me dois de factoriser l'expression du numérateur afin de pouvoir faire le tableau de signe après pour pouvoir étudier les variations de la fonction.

Voici ce que j'ai déjà fait :

f(x) = x^3 + 2x^2 / x^2 - 1 de la forme u / v avec :
u = x^3 + 2x^2 et v = x^2 - 1
u' = 3x^2 + 4x v' = 2x
f'(x) = (3x^2 + 4x)(x^2 - 1) - 2x(x^3 + 2x^2) / (x^2 - 1)^2

Je ne trouve pas de piste pour factoriser le numérateur. Quelqu'un aurait une idée ?

Merci d'avance à ceux qui vont se consacrer au problème.
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[invite34118994]

Voici une factorisation possible de ta dérivée:

[inviteed7e0503]

Oui j'étais déjà arrivé à ça en jouant un peu, le problème c'est qu'il faut que je m'en serve pour étudier le signe après...

Et le signe d'un polynôme de degré 3 je sais pas faire...

[hhh86]

Bonsoir !

Je bloque actuellement sur un exo de dérivée pour lequel je me dois de factoriser l'expression du numérateur afin de pouvoir faire le tableau de signe après pour pouvoir étudier les variations de la fonction.

Voici ce que j'ai déjà fait :

f(x) = x^3 + 2x^2 / x^2 - 1 de la forme u / v avec :
u = x^3 + 2x^2 et v = x^2 - 1
u' = 3x^2 + 4x v' = 2x
f'(x) = (3x^2 + 4x)(x^2 - 1) - 2x(x^3 + 2x^2) / (x^2 - 1)^2

Je ne trouve pas de piste pour factoriser le numérateur. Quelqu'un aurait une idée ?

Merci d'avance à ceux qui vont se consacrer au problème.

(3x^2 + 4x)(x^2 - 1) - 2x(x^3 + 2x^2)
=(3x^2 + 4x)(x^2 - 1) - 2x³(x + 2)
=(3x^2 + 4x)(x^2 - 1) - 2x³(x + 1+1)
=x(3x + 4)(x+1)(x- 1) - 2x³(x + 1) -2x³
=x(x+1)[(3x + 4)(x- 1) - 2x²] -2x³
=x(x+1)[3x² + 4x-3x-4 - 2x²] -2x³
=x(x+1)[x²+x-4] -2x³
=x[(x+1)(x²+x-4) -2x²]
=x(x³+x²-4x+x²+x-4-2x²)
=x(x³-3x-4)

[A voir en vidéo sur Futura]

[hhh86]

Si tu as fait la continuité, tu peux utiliser le théorème de la bijection pour le signe du trinome

[inviteed7e0503]

Hum oui, théorème des valeurs intermédiaires vu...
Mais j'vois pas vraiment comment l'appliquer ici, je ne l'ai utilisé que pour prouver qu'une fonction admet une solution à une équation dans un intervalle.

mais jamais trouvé cette valeur

[hhh86]

Hum oui, théorème des valeurs intermédiaires vu...
Mais j'vois pas vraiment comment l'appliquer ici, je ne l'ai utilisé que pour prouver qu'une fonction admet une solution à une équation dans un intervalle.

mais jamais trouvé cette valeur

Première étape, tu calcules la dérivée de x|-->x³-3x-4.
Tu en déduis les variations de l'expression.
Tu peux ainsi montrer que l'équation x³-3x-4=0 a une unique solution dans IR que tu notes alpha.
Ensuite tu peux montrer que pour tout x>alpha, ta fonction est strictement positive et pour x<alpha, ta fonction est strictement négative (toujours avec le théorème de la bijection)

Avec la méthode de balayage, tu peux encadrer alpha pour pouvoir le placer dans ton tableau de signe entre les autres racines

[invite34118994]

Tu ne sais pas résoudre un polynôme du tr

[inviteed7e0503]

Hum ouais, apparemment je ne peux faire qu'une approximation alors...

J'vais faire ça au brouillon et montrer ça à ma prof demain pour voir si c'était la voie à prendre ou alors si j'ai déconner quelque part.

Merci à vous ^^

[hhh86]

ne donnes surtout pas d'approximation. L'aproximation c'est pour pouvoir encadrer la racine parmis les autres

[inviteed7e0503]

Damned -_-'

L'exercice était guidé en fait, et effectivement, le boulot que tu as fait avant c'était ça qu'il fallait faire vu que j'ai déjà étudié le signe de ce trinôme avant...

Merci !

[hhh86]

Tu ne sais pas résoudre un polynôme du tr

ça m'étonnerais qu'il connaisse

Sinon tu peux poser a+b=x
On a alors (a+b)³=a³+b³+3ab(a+b)
<=>x³-3abx-(a³+b³)=0
On procède par identification pour affirmer que
3ab=3
a³+b³=4
<=>
ab=1
a³+b³=4
<=>
a=1/b
a³+b³=4
<=>
a=1/b
(1/b)³+b³=4
<=>
a=1/b
b⁶-4b³+1=0
Résolvons l'équation b⁶-4b³+1=0
On effectue un changement de variable et on pose B=b³
On a alors B²-4B+1=0
Calculons le discriminat de ce trinome :
Delta=b²-4ac=16-4=12
Donc B1=-2-(3)^1/2
B2=2-(3)^1/2
Le système est donc équivalent à :
b=(-2-(3)^1/2)^1/3 b=(2-(3)^1/2)^1/3
a=1/b
<=>
b=(-2-(3)^1/2)^1/3 et a=1/(-2-(3)^1/2)^1/3 ou b=(2-(3)^1/2)^1/3 et a=1/(-2-(3)^1/2)^1/3 et a=1/(2-(3)^1/2)^1/3
Donc x=a+b=??