Fonction impaire

[invite8290547b]

Bonjour,

Soit f une fonction dérivable sur R telle que , pour tout les reels x et y ; f(x+y)=f(x)+f(y).

1. Déterminer la valeur de f(0) et démontrer que f est une fonction impaire.
2.Démontrer que f '(x+y)=f '(x).En déduire que f' est une fonction constante.
3.Déterminer toutes les fonctions dérivables sur R qui vérifient f(x+y)=f(x)+f(y).

D'apres moi,
1.x=y=0 donc f(0) = f(0)+f(0) = 2f(0)

On en déduit que que f(0)=0
f(0) = f(x) +f(-x) et comme f(0)=0
Alors -f(x) = f(-x) donc la fonction est impaire. ??

et pour la suite de l'exercice je vois pas trop...
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[Jeanpaul]

C'est bien commencé.
Maintenant, tu dis que y a une valeur constante a.
f(x+a) = f(x) + f(a)
Tu dérives la fonction de gauche aussi celle de droite et tu écris que les dérivées sont égales. Que la grandeur s'appelle a ou y ne change rien.

[invite8290547b]

f'(x+a) = f'(x)

et f'(x) + f'(a) = f'(x) puisque f'(a) = 0 .

?

[Jeanpaul]

Ce n'est pas parce que f(x+a) = f(x) + f(a) que f'(x+a) = f'(x) + f'(a)
Le f'(a) n'a rien à faire ici. Que peux-tu dire d'une fonction F telle que F(x+a) = F(x) pour tout a ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8290547b]

la fonction F telle que F(x+a) = F(x) pour tout a est constante ???

[Jeanpaul]

Ben oui, fais varier a en posant x=0