somme de termes suite géométrique

[invitea25b67f7]

Bonjour,

Je suis en train de faire un DM et je bloque sur la dernière question,j'ai essayé de faire des calculs dans tous les sens mais je n'arrive pas à trouver l'égalité suivante :

S_n=U_n+1-1 (ici on parle de la somme des termes de V_n)

Je possède les données suivantes :

U₀=1
U₁=3

U_n+2=1/2*a²*U_n+1+(a-3)*U_n

V_n=U_n+1-U_n

a=-4

J'ai trouvé que (U_n) était une suite arithmétique de raison 2 et (V_n) une suite géométrique de raison 7, mais impossible de trouver l'égalité.
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[inviteaf48d29f]

Bonjour.
Vous cherchez beaucoup trop loin j'en ai peur. La vérité est pourtant si simple. Avec des pointillés vous devriez le voir mieux.

S_n=V₀+V₁+...+V_n-1+V_n
En remplaçant les v_n par leur valeur :
S_n=(u₁-u₀)+(u₂-u₁)+...+(u_n-u_n-1)+(u_n+1-u_n)
Tous les termes se simplifient sauf deux qui sont u_n+1 et -u₀. Comme u₀=1, c'est gagné.

P.S : Remarquez que l'expression récursive qui définit (u[ind]n[\ind]) n'a pas la moindre importance. On appel ce phénomène de simplification en chaine un "télescopage".

[invitea25b67f7]

Merci beaucoup pour votre réponse, c'est beaucoup plus clair et effectivement je compliquais bien les choses, c'est beaucoup plus simple ainsi!

[invitea25b67f7]

encore une petite question, comment en déduire que la suite (U_n) est divergente?

[A voir en vidéo sur Futura]