Congruence TS

[Jon83]

Bonjour!

Si 3x=8(mod 10), comment prouver que x=6(mod 10)?

En multipliant par 7, j'ai 21x=56(mod 10) soit 21x=6(mod 10) mais je ne vois pas la suite???
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[invite5150dbce]

tu veux montrer 3x=8(mod 10) ==> x=6(mod 10)
Alors montre la contraposée
si x=1(mod 10), 3x=3(mod 10)
si x=2(mod 10), 3x=6(mod 10)
si x=3(mod 10), 3x=9(mod 10)
si x=4(mod 10), 3x=2(mod 10)
si x=5(mod 10), 3x=5(mod 10)
si x=7(mod 10), 3x=1(mod 10)
si x=8(mod 10), 3x=4(mod 10)
si x=9(mod 10), 3x=7(mod 10)

[Jon83]

Merci pour ta réponse!
Je dois prouver l'équivalence 3x=8(mod 10) <==> x=6(mod 10).
pour x=6(mod 10) => 3x=8(mod 10) pas de problème.
C'est l'inverse que je ne vois pas: comment 3x=8(mod 10) => x=6(mod 10)??

[invite5150dbce]

Bah je te l'ai marqué en prouvant que si x n'est pas congru à 6, alors 3x n'est pas congru à 8 (modulo 10)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jon83]

OK! je n'avais pas compris.....
Dans mon bouquin, à partir de 3x=8(mod 10), en multipliant par 7, on a 21x=6(mod 10) et là je ne vois pas comment on peut conclure x=6(mod 10)

[invite5150dbce]

C'est assez spécial comme méthode, il faut y penser.
21x=6[10]
<=>10|(21x-6)
<=>10|3(7x-2)
Or comme 3 est premier et 10 n'est pas un multiple de 3, 10 et 3 sont premiers entre eux donc d'après le théorème de gauss, 10|(7x-2)
<=>7x=2[10]
Or 3x=8=-2[10]
Donc -6x=4[10]
Par addition x=7x-6x=2+4=6[7]

[Jon83]

Bravo! Mais tu as raison: c'est tiré par les cheveux!!!!
NB: c'est l'exo 4.31 du livre d'Arithmétique de Joachim LLORCA (édition Ellipses)

Merci pour ton aide!

[invite5150dbce]

De rien
Si tu as d'autres question, n'hésites pas à poster sur le forum

[Flyingsquirrel]

Dans mon bouquin, à partir de 3x=8(mod 10), en multipliant par 7, on a 21x=6(mod 10) et là je ne vois pas comment on peut conclure x=6(mod 10)

7 est l'inverse de 3 modulo 10 car . Par conséquent , d'où la conclusion. En gros il ne font que simplifier par 3 (modulo 10), ce n'est pas si tiré par les cheveux que cela.

[invite5150dbce]

7 est l'inverse de 3 modulo 10 car . Par conséquent , d'où la conclusion. En gros il ne font que simplifier par 3 (modulo 10), ce n'est pas si tiré par les cheveux que cela.

Bien vu, ta méthode est beaucoup plus rapide