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Congruence TS



  1. #1
    Jon83

    Congruence TS

    Bonjour!

    Si 3x=8(mod 10), comment prouver que x=6(mod 10)?

    En multipliant par 7, j'ai 21x=56(mod 10) soit 21x=6(mod 10) mais je ne vois pas la suite???

    -----


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  3. #2
    hhh86

    Re : Congruence TS

    tu veux montrer 3x=8(mod 10) ==> x=6(mod 10)
    Alors montre la contraposée
    si x=1(mod 10), 3x=3(mod 10)
    si x=2(mod 10), 3x=6(mod 10)
    si x=3(mod 10), 3x=9(mod 10)
    si x=4(mod 10), 3x=2(mod 10)
    si x=5(mod 10), 3x=5(mod 10)
    si x=7(mod 10), 3x=1(mod 10)
    si x=8(mod 10), 3x=4(mod 10)
    si x=9(mod 10), 3x=7(mod 10)
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  4. #3
    Jon83

    Re : Congruence TS

    Merci pour ta réponse!
    Je dois prouver l'équivalence 3x=8(mod 10) <==> x=6(mod 10).
    pour x=6(mod 10) => 3x=8(mod 10) pas de problème.
    C'est l'inverse que je ne vois pas: comment 3x=8(mod 10) => x=6(mod 10)??

  5. #4
    hhh86

    Re : Congruence TS

    Bah je te l'ai marqué en prouvant que si x n'est pas congru à 6, alors 3x n'est pas congru à 8 (modulo 10)
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  6. #5
    Jon83

    Re : Congruence TS

    OK! je n'avais pas compris.....
    Dans mon bouquin, à partir de 3x=8(mod 10), en multipliant par 7, on a 21x=6(mod 10) et là je ne vois pas comment on peut conclure x=6(mod 10)

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    hhh86

    Re : Congruence TS

    C'est assez spécial comme méthode, il faut y penser.
    21x=6[10]
    <=>10|(21x-6)
    <=>10|3(7x-2)
    Or comme 3 est premier et 10 n'est pas un multiple de 3, 10 et 3 sont premiers entre eux donc d'après le théorème de gauss, 10|(7x-2)
    <=>7x=2[10]
    Or 3x=8=-2[10]
    Donc -6x=4[10]
    Par addition x=7x-6x=2+4=6[7]
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

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  10. #7
    Jon83

    Re : Congruence TS

    Bravo! Mais tu as raison: c'est tiré par les cheveux!!!!
    NB: c'est l'exo 4.31 du livre d'Arithmétique de Joachim LLORCA (édition Ellipses)

    Merci pour ton aide!

  11. #8
    hhh86

    Re : Congruence TS

    De rien
    Si tu as d'autres question, n'hésites pas à poster sur le forum
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  12. #9
    Flyingsquirrel

    Re : Congruence TS

    Citation Envoyé par Jon83 Voir le message
    Dans mon bouquin, à partir de 3x=8(mod 10), en multipliant par 7, on a 21x=6(mod 10) et là je ne vois pas comment on peut conclure x=6(mod 10)
    7 est l'inverse de 3 modulo 10 car . Par conséquent , d'où la conclusion. En gros il ne font que simplifier par 3 (modulo 10), ce n'est pas si tiré par les cheveux que cela.

  13. #10
    hhh86

    Re : Congruence TS

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    7 est l'inverse de 3 modulo 10 car . Par conséquent , d'où la conclusion. En gros il ne font que simplifier par 3 (modulo 10), ce n'est pas si tiré par les cheveux que cela.
    Bien vu, ta méthode est beaucoup plus rapide
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

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