Complexes & équations

[inviteb90b824a]

Bonjour !

Je bloque depuis pas mal de temps sur un exercice sur les complexes, dont je n'ai réussi que la première partie de la première question.. En espérant que quelqu'un pourra m'aider, voici ci-dessous l'énoncé :

On pose c = e^2i(pi/5), A = c + c^4 et B = c² + c^3.

1. Démontrez que 1 + c + c^2 + c^3 + c^4 = 0 et déduisez que A et B sont solutions de l'équation (E) : x² + x - 1 = 0.

2. Déterminez A en fonction de cos(2pi/5).

3. Résolvez l'équation (E) et déduisez-en la valeur de cos(2pi/5).


Voilà, pour la première question j'ai utilisé la formule de la somme d'une suite géométrique, mais je n'arrive pas à montrer que A et B sont solutions de l'équation (E). J'ai pourtant essayé de remplacer A et B dans l'équation afin de vérifier que cela fait bien 0, mais cela n'aboutit pas : je me retrouve avec une file de sans quoi que ce soit qui me prouve que cela donne 0..

Pour la question 2, voici ce que j'ai fait :
A = c + c^4
A = e^2i(pi/5) + (e^2i(pi/5))⁴
A = e^i(2pi/5) + e^i(8pi/5)
A = cos(2pi/5) +isin(2pi/5) + cos(8pi/5) + isin(8pi/5)

Je n'arrive plus à poursuivre. Est-ce cela que l'on nous demande.. ?

Question 3 : Là je ne comprends pas ! On nous dit déjà dans l'énoncé que A et B sont solutions de (E), donc je ne vois pas ce qu'il faut résoudre !?


Je vous remercie d'avance pour toute aide. Bonne après-midi et joyeux Noël. =)
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[Jeanpaul]

Commence par remarquer que c^5 = 1
Ensuite, développe A² en remplaçant systématiquement tous les c^5 par 1. Ca se simplifie miraculeusement et on retrouve la question précédente..

[inviteb90b824a]

Merci, en effet, c'est beaucoup plus simple maintenant ! Je retrouve bien 0.

En ce qui concerne la question 2, que pensez-vous de mon raisonnement ? Je ne pense vraiment pas que ce soit cela que l'on nous demande mais je n'arrive pas à exprimer A en fonction de cos(2pi/5) autrement qu'avec les autres cos et sin sous forme trigonométrique comme ci-dessus..

[Jeanpaul]

Même topo : remplace le c^4 par 1/c et tu verras que A est pratiquement un cosinus en expression complexe.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb90b824a]

Je ne comprends pas pourquoi il faut remplacer c^4 par 1/c.. c^4 = 1/c ?

[Jeanpaul]

A partir du moment où c^5=1, clairement c^4 = 1/c et ton A ressemble à un exp(xx) + exp(-xx)

[inviteb90b824a]

Ah oui effectivement, désolée ! Je trouve bien des exponentielles opposées, et au final je trouve : A = 2cos(2pi/5), car les sinus s'annulent. Est-ce juste ?

[Jeanpaul]

C'est juste, on reconnaît l'expression du cos(x) comme la moitié de exp(jx)+exp(-jx)

[inviteb90b824a]

D'accord je vois, merci !

J'ai encore besoin de vos lumières pour, à vrai dire, comprendre la dernière question. On nous demande de résoudre l'équation (E). Or, on nous dit déjà dans la première question que les solutions de cette équation sont A et B. L'équation est donc déjà résolue !?

[Jeanpaul]

On nous demande de résoudre l'équation (E). Or, on nous dit déjà dans la première question que les solutions de cette équation sont A et B. L'équation est donc déjà résolue !?

Tant que tu n'as pas écrit clairement A = ... tu n'as pas résolu l'équation et le but final est d'écrire cos(2 pi/5) = valeur algébrique exacte.

[inviteb90b824a]

Donc en fait, je dois d'abord résoudre l'équation (E) "normalement", c'est-à-dire comme lorsqu'on résout une équation du second degré ?

[Jeanpaul]

Donc en fait, je dois d'abord résoudre l'équation (E) "normalement", c'est-à-dire comme lorsqu'on résout une équation du second degré ?

Ben oui, mais ça va donner 2 solutions (A et B, pardi !). Reste à voir laquelle est A, laquelle est B. Regarder le signe peut aider.
Soit dit en passant, pour B, tu peux aussi écrire que c^3 = 1/c², ça aide à voir la valeur de B, très similaire au cas de A.

[inviteb90b824a]

D'accord, ben j'ai trouvé x₁ < 0 et x₂ > 0. J'en ai déduit que A = x₂ car 2cos(2pi/5) > 0.
Après j'ai divisé x₂ par 2 pour trouver cos(2pi/5). Je pense que c'est bon, j'ai vérifié à la calculatrice.

En tout cas, je vous remercie encore, vraiment, je bloquais totalement ! Il va falloir que j'apprenne à remarquer des résultats de calcul.

Merci beaucoup, donc !