Exo type bac term S

[invitee7b07b2b]

On considere le polynome de variable complexe z defini par:

P(z)= 2z^3+14z^2+41z+68.

1. Montrer que pour tout z, on a :
.
P(z) = (z+4)(2z^2+6z+17)

2. Resoudre dans C l'equation P(z) = 0

3. ON note z1,z2,z3 les racines de P(z) sachant que z1 est réelle et Im(z2) >0
On appelle A,B,C les points d'affixes respectives z1,z2,z3 dans le plan complexe.

a. Calculer (z2-z1)/(z3-z1)
Que peut-on en deduire pour le triangle ABC ?

b. Determiner les points D et E tels que BCDE soit un carré de centre A.


1°/ j'ai reussi
2°/ j'ai trouvé que les solutions étaient -4; 3+5i; 3-5i
3°/ donc z1=-4
z2=3+5i
z3= 3-5i
a°/
c'est là que je bloque je trouve que le rapport vaut (-1+5i)/(-1-5i) mais je vois pas comment à partir de là je peux en deduire la forme du triangle ABC
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[invitea29b3af3]

Salut

pour le 2) j'ai pas vérifié moi-même à la main mais ma calculatrice me dit que les racines sont:
z1 = -4
z2 = -3/2 + 5i/2
z3 = -3/2 - 5i/2
Tu as dû te tromper quelque part..

ensuite tu verras que pour le 3a du coup ça deviendra beaucoup plus clair car (z2-z1)/(z3-z1) te donnera . Autrement dit:

or donc

Autrement dit, les segment AB et AC ont la même longueur (le triangle est donc isocèle), puisque l'exponentielle complexe ne change rien à la norme puisque pour tout . De plus, l'exponentielle nous dit que AB peut être obtenu par une rotation d'un quart de tour (sens trigonométrique) du segment AC. (autrement dit, AB et AC sont orthogonaux et forme un angle droit et donc le triangle est non seulement isocèle mais également rectangle)

[invitee7b07b2b]

coucou!
Effectivement je m'etais trompée !
Je trouve pour z2-z1= (11/2) + (5/2)i
et pour z3-z1= (11/2)-(5/2)i
je vois pas comment t'as trouvé que z2-z1= i (z3-z1) ??

[invitee7b07b2b]

coucou !
Je trouve toujours pas comment t'as fait parce que si je pars de i* (11/2 -5/2 i)
ça donne (11/2 i - 5/2 ) ça va pas ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea29b3af3]

attention

z2-z1=5/2 + 5i/2 et z3-z1 = 5/2 -5i/2
(t'as des fautes de signe) (-z1 ça fait bien -(-4) donc +4)

du coup:

jusque là d'accord?

et maintenant pour te débarrasser des i au dénominateur, c'est le coup classique, tu multiplies par le conjugué du dénominateur en haut et en bas (donc tu mutliplies en haut et en bas par 1+i, ce que tu as le droit de faire puisque ça équivaut à multiplier par 1). Tu développes, tu simplifies et tu verras que tu arrives à i.

[invitee7b07b2b]

et donc quand le quotient vaut i ça signifie que les cotés sont de memes longueurs ? je savais pas.. :s

[invitee7b07b2b]

Pour la derniere question , il faut dire que pour cela AD=AB et que AE=AC où que D ait la meme ordonnée que C mais le double de la difference entre les abscisses de A et de C pareil pour E qui doit avoir la meme ordonnée que B et le double de la difference entre les abscisses de A et de B.
Sachant que la differnece entre les abscisses de A et de B et la difference des abscisses de C et de A ont la meme valeur.
Fin voilà c'est ma vision geometrique mais je vois pas comment le faire algebriquement :s

[invitea29b3af3]

et donc quand le quotient vaut i ça signifie que les cotés sont de memes longueurs ? je savais pas.. :s

Oui, mais c'est tout à fait logique je m'explique: est de norme 1. Donc si le quotient AB/AC donne quelque chose de norme 1, alors AB et AC sont de même norme, donc de même longueur.

Pour la question suivante, est-ce que c'est explicitement demandé de le faire algébriquement? Parce que tu fais un dessin sur une feuille quadrillée et en 5 secondes tu trouves les coordonnées de D et E...
Sinon, ce que tu as dit est juste sauf pour les abscisses. L'abscisse de D = le double de la différence entre les abscisses de A et C + l'abscisse de C (tu avais oublié ce 2e terme). Si tu fais un dessin, tu vois ça tout de suite.

[invitee7b07b2b]

ah ok bon bé je vais essayer de le faire par un dessin.
Merci en tout cas pour ton aide ! c'est très sympa ! =)

[invitea29b3af3]

de rien