Barycentres et convexité
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Barycentres et convexité



  1. #1
    Jah times

    Barycentres et convexité


    ------

    Bonsoir ! Je seche sur une question a propos de l'inégalité de convexité pour 3réels. Pourriez vous m'aider ?

    Il s'agit de la derniere question de l'ex 2 mais je post quand meme l'ex 1 sachant que les deux sont complémentaires.

    Enoncé : Ex 1 :
    1) a) Prouver que si M € [AB] alors il existe a et b 2 réels de même signe et de somme non nulle tels que : M=bar(A;a),(B,b) Question résolue.

    b) Si M € [AB] avec M inégal a A et B, alors il existe a et b 2 réels strictement positifs et de somme non nulle tels que M=bar(A;a)(A;b). Question résolue.

    c) Si M € [AB] alors il existe un réel a appartenant à [0;1] tel que M=bar (A;a)(B;1-a) Question résolue.

    2)Prouver finalement que le segment AB est l'ensemble des barycentres possibles du type bar (A;a),(B;1-a) lorsque a prend toutes les valeurs possibles de l'intervalle [0;1] Résolue

    3) Prouver la conséquence suivante : si a et b 2 nombres avec a<b et tout nombre x€[a;b] alors il existe un nombre lambda compris entre 0et 1 tel que x= lambda*a + (1-lambda) * b résolue

    Pour l'ex suivant on aura besoin des propriétés énoncé dans l'ex 1.

    Ex 2 : On munit le plan d'un repere (O,i,j) orthonormé. On note E l'ensemble des points M du plan dont les coordonnées (x;y) vérifient x²<(ou égal à) y

    Def : On dit qu'un ensemble de points E est convexe ssi lorsque M et N sont 2 points dans E alors le segment [MN] tout entier est contenu dans E.


    Questions : 1) Tracer la parabole f(x) = x² (C'est fait.) Représenter l'ensemble E. Résolue

    2) Démontrer que E est convexe en utilisant les résultats de l'exercice précédent. résolue

    3) SOit A,B,C 3 points dans E. Démontrer sans calcul que l'isobarycentre de A,Bet C appartient a E. On utilisera la propriété suivante : Lorsque les coefficients de A B C sont strictement positifs, le barycentre de A B et C est a l'intérieur du trianlge ABC. Résolue

    Enfin question 4 qui traite de l'inégalité de convexité.
    4) En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que pour tous réels a,b et c on a :
    (a+b+c)²<(ou égal à) 3(a²+b²+c²)
    Et là, c'est le drame : Je ne sais vraiment pas d'ou partir.


    Voici la résolution breve de l'ex 2 :

    1)E est la partie du plan située complètement à l'intérieur de la parabole car y>=x²

    2) soit A(a,b) et B(c,d) deux points de E
    alors b>=a² et d>=c²
    Soit M(x,y) un point de [AB]
    on va montrer que M appartient à E cad y>=x²

    d'après exo1 il existe t€[0,1] tel que tAM+(1-t)BM=0
    donc
    x=ta+(1-t)c et y=tb+(1-t)d
    ka²+(1-k)c²-(ka+(1-k)c)²=ka²+(1-k)c²-k²a²-(1-k)²c²-2k(1-k)ac
    =k(1-k)a²+k(1-k)c²-2k(1-k)ac
    =k(1-k)(a²+c²-2ac)
    =k(1-k)(a-c)²>=0 car k(1-k)>0
    donc
    ka²+(1-k)c²>=(ka+(1-k)c)²
    donc E est convexe

    3) Si c'est l'isobarycentre alors a b et c (coefficients) peuvent etre négatifs ou positifs du moments qu'ils soient égaux. Donc On peut dire que a=b=c=1 Donc l'isobarycentre est dans E...

    4) Je bloque completement : (a+b+c)²<= 3(a²+b²+c²)
    D'ou vient le 3 et le reste ? Par ou commencer ? Voila merci de votre aide.

    Jah times.

    -----

  2. #2
    Jah times

    Re : Barycentres et convexité

    Svp j'ai besoin d'aide j'aimerais finir ce dm avant l'année prochaine :P
    Jah T

  3. #3
    Jah times

    Re : Barycentres et convexité

    Up ?
    Jah times.

  4. #4
    Jah times

    Re : Barycentres et convexité

    Personne n'aime les barycentres ? :P
    (Bonne année.)
    Jah times.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Jeanpaul

    Re : Barycentres et convexité

    remarque que xG= (a+b+c)/3 et que xG² <= yG

  7. #6
    Jah times

    Re : Barycentres et convexité

    Ok bonne piste Mais alors G serait l'isobarycentre de ABC ? Avec quelles coordonnées ? En réalité j'ai du mal à voir a quoi correspond a b et c étant donné que nous sommes dans un repère. S'agirait-il de l'abscisse ?
    On aurait xA = a , xB=b et xC= c ??
    xG= (xA + xB + xC )/3 soit xG=(a+b+c)/3

    Il suffirait de prouver que xG²<= Y
    Donc ((a+b+c)/3)²= xG²

    Je ne vois pas quelle inégalité est en relation avec Y.
    A quoi correspond Y ici ?
    Merci de ta réponse
    Jah Times.

  8. #7
    Jeanpaul

    Re : Barycentres et convexité

    Tu prends effectivement 3 points A, B et C d'abscisses a,b,c sur la parabole et tu cherches l'isobarycentre G de ces points. Il est au-dessus de la parabole donc xG² <= yG

  9. #8
    Jah times

    Re : Barycentres et convexité

    xG = (a+b+c)/3
    Je ne vois pas comment on peut prouver que (a+b+c)²<= (a²+b²+c²)*3
    etant donné que l'on a aucune donnée a propos de y.
    A moins que : Si G est isobarycentre de ABC contenu dans E alors G appartient a E. Or si G appartient a E alors xG²<=yG ! Mais oui c'est ca ^^
    Le pb c'est que xG = (a+b+c)/3 donc xG²=((a+b+c)/3)²= (a+b+c)²/9.. Or ca ne colle pas du tout -_-
    Puis pour donner l'expression littérale de Y je suis encore perplexe.
    Jt.

  10. #9
    Jah times

    Re : Barycentres et convexité

    Re. Apres calculs j'obtiens plusieurs choses intéressantes.
    ABC triangle dans E. A(a;a') B(b;b') C(c;c')
    G isobarycentre de A B et C.
    xG= (a+b+c)/3
    yG= (a' + b' + c') /3
    Or a'>= a² de meme pour b et c.

    Et la je bloque :
    yG >= (a²+b²+c²)/3
    yG>= ((a+b+c)/3)²=x²

    Et je n'arrive pas a montrer que (a²+b²+c²)/3 >= ((a+b+c)/3)²
    Puis-je dire qu'il s'agit de la meme comparaison qu'au 2) et que l'on peut écrire

    ((a+b+c)/3)² <= (a²+b²+c²)/3
    Donc (a+b+c)²/9 <= (a²+b²+c²)/3

    Donc (a+b+c)² <= (a²+b²+c²)*3.


    Je ne sais pas comment arriver a l'inégalité de départ.

  11. #10
    Jeanpaul

    Re : Barycentres et convexité

    C'est plus simple que ça : tu prends 3 points A, B, C, de coordonnées (a, a²), (b, b²), (c,c²) donc sur la parabole.
    L'isobarycentre G a pour coordonnées {(a+b+c)/3 , (a²+b²+c²)/3}
    Tu écris que G est dans la parabole donc que
    xG² <= yG et c'est fini. On voit aussi qu'il n'y a égalité que si les 3 points sont confondus.

  12. #11
    Jah times

    Re : Barycentres et convexité

    Merci beaucoup ! Tout est clair. Je me suis un peu compliquer la vie ^^ Bravo à toi et bonne année.
    Jah times.

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