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Exo de spé



  1. #1
    Roxanepp

    Exo de spé


    ------

    bonjour a tous ! pouriez vous m'aider pour mon exo de spé !
    1. Soit l'entier n = 200.

    a)Déterminer l'ensemble des diviseurs positifs de n.
    b)Soit N le nombre de diviseurs de n et P le produit de ces diviseurs. Vérifier la relation (1) : n^N = p².

    2. Soit l'entier n = 2^a*5^b, avec a et b naturels.

    a)Montrer que le nombre de diviseurs de n est :
    N = (a+1)(b+1).

    b)Calculer le produit P de ces diviseurs.
    c)L'égalité (1) est-elle encore vraie?
    d)Déterminer l'entier n, de la forme 2^a*5^b, sachant que P = 20^42



    Pour la question 1 sa va mais pour la 2 je sais pas par ou commencer. si vous pourriez me donner un conseil ! merci a vous

    -----

  2. #2
    Weensie

    Re : Spe Maths Terminale S Exercices

    Salut !
    a)Tout d'abord je te conseille d'examiner les diviseurs premiers de n en les cherchant dans l'intervalle [1;E(racine de 200)] c'est à dire [1,14].
    Ensuite tu essayes les combinaisons !
    Tu as : n=2*2*2*5*5 .
    Donc l'enseble D+ des diviseurs positifs de n est : {2 , 4 , 8 , 10 , 20 , 25 , 50 , 100}.

    b)S'il ne sagit que d'une vérification , il suffit d'effectuer le calcul .

    2 a)Puisque 2 et 5 sont premiers , 2^a et 5^b n'ont pas de diviseur commun et 2^a admet a+1 diviseurs (lui-même compris) idem pour 5^b .
    Donc le nombre de diviseurs du produit est égal au produit des diviseurs . cad (a+1)(b+1)

    b)Je dois avouer que cette question est "un peu" déroutante .
    En effet , Calculons le produit de ces diviseurs .
    Il est utile d'avoir un produit de puissances de nombres premiers entre eux afin d'utiliser le lemme de Gauss au maximum .
    On a : N=(a+1)(b+1)
    L'ensemble des diviseurs est : 2 , 2² , ... ,2^a , 5,5^2,...5^b
    en utilisant les propriétés des nombres premiers entre eux , toutes les combinaisons de ces nombres entre eux sont uniques par conséquent le produit d'une telle combinaison donne le produit des diviseurs .
    On séparera bien les exposants pour simplifier les calculs , et lorsqu'il s'agira de faire des sommes on se souviandra que la somme des termes d'une suite arithmétique de raison 1 est égale à n(n+1)/2 , et la somme des termes d'une série géométrique de raison q et de premier terme u0 est égal à U0*(1-(q^n-1))/(1-q) .
    Ensuite les simplifiactions acheves , on termine la démonstration .
    J'ai raté mes calculs mais le raisonnement est bon .
    Attention cependant lorsqu'on ne sait pas s'il faut mettre n ou n+1 (il faut être vigilant
    Ensuite appliquer la formule .
    On a n^N = P² en passant à l'exponentielle on a :
    e^N ln n = ln P²
    donc N ln n = ln P²

    donc n = P^(2/N)
    Voila tout !
    .

  3. #3
    Roxanepp

    Re : Spe Maths Terminale S Exercices

    merrcii bcppp^^

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