Exo de spé

[invite0d5fafa4]

bonjour a tous ! pouriez vous m'aider pour mon exo de spé !
1. Soit l'entier n = 200.

a)Déterminer l'ensemble des diviseurs positifs de n.
b)Soit N le nombre de diviseurs de n et P le produit de ces diviseurs. Vérifier la relation (1) : n^N = p².

2. Soit l'entier n = 2^a*5^b, avec a et b naturels.

a)Montrer que le nombre de diviseurs de n est :
N = (a+1)(b+1).

b)Calculer le produit P de ces diviseurs.
c)L'égalité (1) est-elle encore vraie?
d)Déterminer l'entier n, de la forme 2^a*5^b, sachant que P = 20^42



Pour la question 1 sa va mais pour la 2 je sais pas par ou commencer. si vous pourriez me donner un conseil ! merci a vous
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[invitec1242683]

Salut !
a)Tout d'abord je te conseille d'examiner les diviseurs premiers de n en les cherchant dans l'intervalle [1;E(racine de 200)] c'est à dire [1,14].
Ensuite tu essayes les combinaisons !
Tu as : n=2*2*2*5*5 .
Donc l'enseble D+ des diviseurs positifs de n est : {2 , 4 , 8 , 10 , 20 , 25 , 50 , 100}.

b)S'il ne sagit que d'une vérification , il suffit d'effectuer le calcul .

2 a)Puisque 2 et 5 sont premiers , 2^a et 5^b n'ont pas de diviseur commun et 2^a admet a+1 diviseurs (lui-même compris) idem pour 5^b .
Donc le nombre de diviseurs du produit est égal au produit des diviseurs . cad (a+1)(b+1)

b)Je dois avouer que cette question est "un peu" déroutante .
En effet , Calculons le produit de ces diviseurs .
Il est utile d'avoir un produit de puissances de nombres premiers entre eux afin d'utiliser le lemme de Gauss au maximum .
On a : N=(a+1)(b+1)
L'ensemble des diviseurs est : 2 , 2² , ... ,2^a , 5,5^2,...5^b
en utilisant les propriétés des nombres premiers entre eux , toutes les combinaisons de ces nombres entre eux sont uniques par conséquent le produit d'une telle combinaison donne le produit des diviseurs .
On séparera bien les exposants pour simplifier les calculs , et lorsqu'il s'agira de faire des sommes on se souviandra que la somme des termes d'une suite arithmétique de raison 1 est égale à n(n+1)/2 , et la somme des termes d'une série géométrique de raison q et de premier terme u0 est égal à U0*(1-(q^n-1))/(1-q) .
Ensuite les simplifiactions acheves , on termine la démonstration .
J'ai raté mes calculs mais le raisonnement est bon .
Attention cependant lorsqu'on ne sait pas s'il faut mettre n ou n+1 (il faut être vigilant
Ensuite appliquer la formule .
On a n^N = P² en passant à l'exponentielle on a :
e^N ln n = ln P²
donc N ln n = ln P²

donc n = P^(2/N)
Voila tout !

[invite0d5fafa4]

merrcii bcppp^^