Bonsoir, je n'arrive pas à résoudre une partie de l'exercice qui suit donc si quelqu'un pourrait m'aider je lui en serait très reconnaissant.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, i, j). Soit f l'application définie sur R+ par f(0)=0 et f(x)=(xlnx)/(x+1) pour x>0.
On appelle C la courbe représentative de f. On se propose d'étudier F et de construire C, après avoir préciser sa position par rapport à la courbe représentative de ln et par rapport à l'une de ses tangentes.
Partie A. Préliminaires
1. On donne les valeurs approchées : ln2=0,69 ; ln3=1,10 ; ln10=2,30. En déduire des valeurs approchées de ln0,2 et ln 0,3. (question traitée)
2.Soit g la fonction définie sur R*+ par g(x)=x+1+lnx
a)Etudier les variations de g, et calculer ses limites en 0 et en +00.(question traitée)
b)Montrer que l'équation g(x)=0 admet une solution unique alpha. Prouver que 0,2<alpha<0,3.(question traitée)
c)En déduire le signe de g sur R*+.(question traitée)
3.Soit h la fonction définie sur R*+ par h(x)= xlnx+((1-x²)/2).
a)Calculer ses dérivées première et seconde h' et h".(question traitée)
b)Etudier les variations puis le signe de h'; en déduire les variations et le signe de h.(question traitée)
Partie B. Etude de f
1.Montrer que f est continue en 0.(question traitée)
2.Calculer limf(x)/x lorsque x tend vers 0; que peut-on en déduire pour f ? Interpréter graphiquement.(question traitée)
3.Calculer la limite de f en +00.(question traitée)
4.Montrer que f(alpha)=-alpha (on utilisera la question A2b)
5.Etudier le signe de f' (on utilisera la question A2c) et donner le tableau de variation de f.
Partie C. Construction de C
1.a)Pour tout x>0, on pose phi(x)=f(x)-lnx. Etudier le signe de phi(x) en fonction de x, et calculer la limite de phi en +00.
b)On note L la courbe représentative de la fonction ln. Interpréter graphiquement les résultats obtenus à la question 1.a (Je pense qu'il faut ici etudier la position de L par rapport à C mais je n'en suis pas sur)
2.Déterminer une équation de la tangente delta à C au point d'abcisse 1.(Je pense qu'il faut ici utiliser la formule f'(a)(x-a)+f(a) avec a=1 mais encore une fois je n'en suis pas sur). Etudier la position relative de C et de sa tangente (on utilisera la question A3b).
3.Construire L, delta et donner l'allure de C. (Je pense qu'avec l'aide des réponses précedentes je serai en capacité de les tracer).
Merci d'avance.
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