etude de la fonction f(x)=&

[invite2f252b5c]

bonjour a tous je suis en ts et j'ai un Dm que j'arive pas a faire, ca fait trois jours que je suis dessus et g rien de vrément achevevé . j'ai entamé chaque question ms imposible de les finir voici lexercice
on cosidére la fonction f définie sur R par f(x)=1/(1+x^2) F désigne la primitive de f qui vérifie F(0)=0
1/ démonter que F et impaire en introduisant la fonction g(x)=F(-x)+F(x).
j'ai calculer la dérivé de g:
g'(x)=F'(x)-F'(x)
=f(-x)-f(x)
et apres je sais pas trop comment faire
2/on pose x apartenant a [-pi/2;pi/2] h(x)=(F.tan)(x)=F(tan(x))
a) justifier ke h est dérivable sur [-pi/2;pi/2] et calculer sa dérivéé
j'ai trouver que h'(x)=1
b) en conclure que F(tan(x))=x
c)valeur exacte de F(1/2) et F(1)
3/on pose pour x appartenant a [0;+inf] P(x)=F(x)+F(1/x)
a)justifier que p est derivable sur [0;+inf] et calculer sa dérivé
j'ai trouver que p'(x)=1 ms je ne sui vraiment pa sure
b)en déduire que pr xappartenant a [0;+inf] F(x)=pi/2-F(1/x)
c)que vaut F(2)
d)déterminer la limite de F(x) lorsque x tend vers +inf
e)en déduissant le fait que F est impaire déterminer la limite de F(x) losque x tend vers -inf
qu'en déduit on de la coube C
f)trouver une relation analogue à celle obtenu précédament lorsque x appertient a [-inf;0]
4/ en déduire le sens de variation de F
5/on note T la tengente a C au point d'abscisse 0
a)déterminer l'équation réduite de T
b)étudier la position de t par rapport à T

s'il vous plait aider moi je suis vraiment désespére
merci d'avance
-----

[invite51d17075]

bonjour a tous je suis en ts et j'ai un Dm que j'arive pas a faire, ca fait trois jours que je suis dessus et g rien de vrément achevevé . j'ai entamé chaque question ms imposible de les finir voici lexercice
on cosidére la fonction f définie sur R par f(x)=1/(1+x^2) F désigne la primitive de f qui vérifie F(0)=0
1/ démonter que F et impaire en introduisant la fonction g(x)=F(-x)+F(x).
j'ai calculer la dérivé de g:
g'(x)=F'(x)-F'(x)
=f(-x)-f(x)
et apres je sais pas trop comment faire
.....

bonsoir,
il y a une petite erreur.
g'(x)=F'(-x) + F'(x)
= - f(-x) + f(x)

hors f(-x) = f(x)
donc g'(x) = 0
et g(x) =cte.
mais comme F(0)=0 alors
g(x) =0

d'ou F(-x) = - F(x) donc ..... impaire !

[invite5150dbce]

Pour la 1/

Pour tout réel x appartenant à IR, -x appartient à IR

Soit g: x |--> F(x)+F(-x)
Dérivabilité :
F est dérivable sur IR donc x |-->F(-x) est dérivable sur IR par composition
g est dérivable sur IR comme somme de fonctions dérivables sur IR
On a donc g'(x)=f(x)-f(-x)=1/(1+x²)-1/(1+x²)=0
g est donc constante. Pour tout x appartenant à IR, g(x)=g(0)=f(0)-f(0)=0
Donc pour tout x appartenant à IR, F(x)+F(-x)=0<=>F(-x)=-F(x)
F est donc impaire

[invite2f252b5c]

pourqoi F(-x) devient il -F(x) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2f252b5c]

ha oui j'ai compris encore merci. j'ai enfin réussi la 2b mais pour la c jarive pas a déterminer f(1/2)

[invite2f252b5c]

plutot F(1/2)

[invite5150dbce]

je ne vois pas
arctan(1 / 2) = 0.463647609 d'après google

[invite2f252b5c]

d'acord merci, et pour les autre question tu peu m'aider ?

[invite51d17075]

je prend le relai 3secondes pour la 3)
p(x) = F(x)+F(1/x)
donc p'(x) = derivéeF(x) +derivéeF(1/x)
p'(x) = f(x) + (-1/x²)f(1/x) car la dérivée de 1/x=-1/x²
soit
p'(x) = 1/(1+x²) - 1/x²(1/(1+1/x²))
en developpant on trouve
p'(x)=O

donc p(x) est constante et
p(1) = F(1) + F(1/1) = 2F(1)
et comme F(1) = pi/4 alors
p(x)=p(1)=pi/2
comme p(x) = F(x)+F(1/x)
alors
F(x) = pi/2 - F(1/x)

[invite5150dbce]

Sinon pour la valeur exacte de F(1/2), tu peux soit la mettre sous forme d'intégrale
Soit écrire F(1/2)=arctan(1/2)
Soit sous forme d'argument F(1/2)=Arg(2+i)
Soit sous forme d'un logrithme complexe
Soit sous forme d'une somme avec le DL de la fonction arctan

[invite2f252b5c]

encore merci à vous, j'ai une toute dernière question sur les suites
on pose pour tout entier n S(n)=somme de k=0 à n de F(1/(1+k(k+1))
a/démontrer que pour tous réel a et b positifs ou nuls on a : f(a)-f(b)=F((a+b)/(1+ab))
b/en déduire que S(n)=F(n) et en déduire que la suite S est convergente

[invite2f252b5c]

encore merci à vous, j'ai une toute dernière question sur les suites
on pose pour tout entier n S(n)=somme de k=0 à n de F(1/(1+k(k+1))
a/démontrer que pour tous réel a et b positifs ou nuls on a : f(a)-f(b)=F((a-b)/(1+ab))
b/en déduire que S(n)=F(n) et en déduire que la suite S est convergente

[invite5150dbce]

a/démontrer que pour tous réel a et b positifs ou nuls on a : f(a)-f(b)=F((a-b)/(1+ab))

C'est clairement faux

[invite51d17075]

a/démontrer que pour tous réel a et b positifs ou nuls on a : f(a)-f(b)=F((a-b)/(1+ab))

C'est clairement faux

oui, mais je crois qu'il faut lire :
F(a)-F(b) = F((a-b)/(1+ab))

en posant a=tg(A) et b=tg(B)
on a (tg(A)-tg(B))(1+tg(A)tg(B))=tg(A-B)
comme F(tg(x))=x
on a donc bien
F(tg(A))-F((tg(B))=F(tg(A-B))

ce qui revient à l'équation proposée.

[invite5150dbce]

oui, mais je crois qu'il faut lire :
F(a)-F(b) = F((a-b)/(1+ab))

en posant a=tg(A) et b=tg(B)
on a (tg(A)-tg(B))(1+tg(A)tg(B))=tg(A-B)
comme F(tg(x))=x
on a donc bien
F(tg(A))-F((tg(B))=F(tg(A-B))

ce qui revient à l'équation proposée.

Bien vu

[invite5150dbce]

Sinon moi ce que j'avais fait :

Soit k : x |-->F[(x-a)/(1+ax)]-[F(x)-F(a)] avec a réel positif
IR+-->IR

En dérivant, on obtient k'(x)=0 pour tout x appartenant à IR+
Donc k est constante
Pour tout x appartenant à IR, k(x)=k(a)=F[(a-a)/(1+a²)]-[F(a)-F(a)]=F(0)=0
Cela prouve aussi l'égalité annoncée

[invite51d17075]

Sinon moi ce que j'avais fait :

Soit k : x |-->F[(x-a)/(1+ax)]-[F(x)-F(a)] avec a réel positif
IR+-->IR

En dérivant, on obtient k'(x)=0 pour tout x appartenant à IR+
Donc k est constante
Pour tout x appartenant à IR, k(x)=k(a)=F[(a-a)/(1+a²)]-[F(a)-F(a)]=F(0)=0
Cela prouve aussi l'égalité annoncée

c'est même presque plus "joli".
je n'ai pas de merite, j'ai cherché le lien avec la suite proposée, et vu tout de suite que c'etait F et pas f .....

je suis un tricheur

[invite5150dbce]

c'est même presque plus "joli".
je n'ai pas de merite, j'ai cherché le lien avec la suite proposée, et vu tout de suite que c'etait F et pas f .....

je suis un tricheur

De toutes façons, le but est de l'aider. Peu importe la manière dont on y arrive.

[invite2f252b5c]

merci beaucoup j'aurais pas penser à ça toute seul vous m'avais vraiment aider , au risque de me répéter encore merci

[invite5150dbce]

F(1/(1+k(k+1))=F[(k+1-k)/(1+k(k+1))]=F(k+1)-F(k)

[invite2f252b5c]

F(1/(1+k(k+1))=F[(k+1-k)/(1+k(k+1))]=F(k+1)-F(k)

je ne comprends pas!!

[invite5150dbce]

tu poses a=k+1 et b=k
Tu est d'accord que (a-b)/(1+ab)=1/(1+k(k+1))
Or F[(a-b)/(1+ab)]=F(a)-F(b)
<=>F(1/(1+k(k+1))=F(k+1)-F(k)

[invite2f252b5c]

ha oui c plus claire maintenant merci.
et pour la première question comment prouver que k'=0 parsque quand je dérive F(x-a/1+ax) je trouve bien 0 mais pour la dériver de F(x)-F(a) je ne trouve pas 0

[invite5150dbce]

aille, ce n'est pas du tout ça

Déjà tu as une somme à dériver
Tu remarques que F(a) ne dépend pas de x donc est constante sa dérivée est donc 0
F'(x)=1/(1+x²)
F[(x-a)/(1+ax)] est une fonction composée or la formule de la dérivée d'une fonction composée (uov)'=u'ov.v'
Donc sa dérivée est : F'[(x-a)/(1+ax)]*(1+ax-a(x-a))/(1+ax)²
=F'[(x-a)/(1+ax)]*(1+ax-ax+a²)/(1+ax)²
=F'[(x-a)/(1+ax)]*(1+a²)/(1+ax)²
=1/[1+(x-a)²/(1+ax)²]*(1+a²)/(1+ax)²
=(1+ax)²/[(1+ax)²+(x-a)²]*(1+a²)/(1+ax)²
=(1+a²)/[(1+ax)²+(x-a)²]
=(1+a²)/[a²x²+1+2ax+x²+a²-2ax]
=(1+a²)/[a²x²+1+x²+a²]
=(1+a²)/[x²(a²+1)+1+a²]
=(1+a²)/[(x²+1)(a²+1)]
=1/(x²+1)
La dérivée de k est donc bien 0

[invite51d17075]

la tu fais compliqué,

finalement, je préferai mes tangentes !!
ça prenait 3 lignes

quand je disais avoir triché, ce n'est pas sur la recherche de la solution, mais pour avoir compris que c'était F et pas f

[invite5150dbce]

la tu fais compliqué,

finalement, je préferai mes tangentes !!
ça prenait 3 lignes

Oui c'est plus éléguant que ma méthode mais je n'y avais pas pensé ^^

[invite2f252b5c]

waahouu!!! ok mais dit moi tu a vraiment 17ans? En tout cas merci pour tout

[invite5150dbce]

oui j'ai vraiment 17 ans et je ne suis qu'en terminale S