exo nombre complexe

[invite7ce56e30]

voila l'exo qui me pose problème: Le plan est muni d'un repere orthonormal direct (o,u,v): unité graphique 4cm. on considere le point A d'affixe 1 et l'application f qui a tout point M, distinct de A d'affixe z associe le point N d'affixe Z telle que Z= z²/2(z-1)

1) Montrer que l'application f admet pour seuls points invariants le point o et un second point et un second point, noté B dont on précisera l'affixe et que l'on représentera.

b) montrer qu'il existe deux points c et d dont l'image par f et le point A puis les représenter!
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[Seirios]

Bonjour,

Qu'as-tu fais pour l'instant ? Il ne s'agit que de résoudre des équations du deuxième ordre dans .

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Sais-tu ce qu'est un point invariant ?
Si oui cela ne doit pas poser de problème
Sinon

 Cliquez pour afficher

le point d'affixe z est invariant si f(z)=z

Duke.

[invite7ce56e30]

je n'arrive pas vraiment avec les nombre complexes, je n'ai pas bien compris l'exos!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[hhh86]

Pour le point invariant, je ne peux pas être plus clair que Duke

Pour la deuxième question résouds dans C\{1} l'équation
1=z²/2(z-1)

[invite7ce56e30]

ok thanks!!

[invite7ce56e30]

j'ai du mal avec la suite de l'exo

2)soit T le cercle de centre A passant par le point 0.

a)Verifier que le point Md'affixe z appartient à T si et seulement s'il existe un reel (teta) tel que : z=1+e a la puissance i(teta)

b) Montrer que si z=1+e a la puissance i(teta) avec (teta) reel alors Z=1+cos(teta)

c)en deduire que l'image du cercle T est un segment que l'on précisera

[hhh86]

2/a/
Soit T le cercle de centre A et passant par O
M appartient à T <=> AM=AO
<=>|z-1|=1
z-1≠0 car |0|=0 donc il existe un couple de réels (r,θ) tels que z-1=re^iθ où r=|z-1| et θ=Arg(z-1)
Donc comme |z-1|=1, alors r=1 donc z-1=e^iθ
D'où z=1+e^iθ

Réciproquement soit M le point d'affixe z=1+e^iθ avec θ réel
On a alors |z-1|=|e^iθ|=√(cos²θ+sin²θ)=1
<=>|z-zA|=|zA-zO|
<=>AM=OA
<=>M appartient au cercle de centre A et de rayon OA