Dm de Maths sur le logarithme népérien

[invite88f203d5]

Bonjour !
je suis en terminale S et j'ai un dm de maths à rendre pour lundi.
Je voudrais savoir si vous pouviez m'aider... voici l'énoncé.

F(x)= x+(1/x)+(lnx/x)
définie sur 0; +l'infini (=intervalle I)

1.a. pourquoi la droite d d'équation y=x est asymptote oblique à la courbe C représentant f en +l'infini ?
Déjà là j'ai un problème. j'ai calculé f(x)-y= (1/x)(1+(lnx/x)), mais je n'arrive pas à trouver sa limite en +l'infini...

b. h(x)= x+lnx. j'ai démontré que sur I, h(x)=0 n'admettait qu'une seule solution. mais je dois démontrer que cette solution est comprise entre 0.5 et 0.6, comment faire ?

c. position relative de d par rapport à C. je suppose que je dois étudier le signe de f(x)-y, mais vu que ya des quotients je vois pas trop comment faire.

2. a. j'ai démontré que f'(x)= g(x)/x^3, et j'ai trouvé g(x)= x^3-x-ln(x^2)+1. c'est bon ?

b. démontrer que g(x)>1 pour tout x de I. j'ai dérivé g et j'ai trouvé: 3x^2-1-(2/x). j'aimerai étudier son signe, mais je ne vois pas comment faire. après je compte montrer grâce au signe de g' les variations de g, et montrer que g est toujours supérieur ou égal à 1.

c.bon faut déduire les variations de f, ça ça devrait aller, mais vu que je bloque avant, impossible à faire pour l'instant.

merci de m'aider !!!
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[invitec17b0872]

Bonjour,

Pour la 1.a., la méthode est la bonne. Revoyez dans votre cours la limite en l'infini de ln(x)/x, c'est 0+, et vous connaissez celle de 1/x. La limite du produit est le produit des limites ici, soit 0+, ce qui coincide bien avec la notion d'asymptote.

Pour la 1.b, calculer h(0.5) et h(0.6). Si h est monotone dans cet intervalle, et si le produit de ces deux images est négatif, c'est bien qu'il n'existe qu'une unique racine à h sur l'intervalle 0.5;0.6. (grâce au théorême des valeurs intermédiaires)

Pour les positions relatives, il s'agit bien d'étudier le signe de la différence en fonction des valeurs de x. C'est comme la mécanique, faut pas hésiter à mettre les mains dans le cambouis.

Enfin, je ne trouve pas la même fonction g que vous. Perso j'ai x^3 - x.ln(x), mais je peux me tromper.

Continuez !

[invite88f203d5]

merci beaucoup !!!
je réessaie et si je n'y arrive toujours pas je vous tiens au courant ^^

[invitec17b0872]

Il y a une erreur dans votre expression de f(x)-y, problème de factorisation. Conservez plutot la forme additive de f(x)-y et étudiez la limite de la somme, c'est tout aussi simple. Bon courage.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite88f203d5]

Pourtant, ça me semble logique que f(x)-y= (1/x)+ (lnx/x^2), puisque f(x)-y= x + (1/x) + (lnx/x^2) -x, les x s'annulent ! en tout cas, je trouve bien 0+ comme limite pour la différence, donc ça doit être bon.

Merci pour votre aide, j'ai bouclé l'ensemble de la 1ère question.
Par contre, vous êtes sûr que g(x)= x^3 - xlnx ?
j'ai beau calculer et recalculer, je trouve toujours la même chose. voici mon calcul, je me trompe peut être qq part:

f(x) = x + (1/x) + (lnx/x^2) = (x^3 + x + lnx)/ x^2

donc f'(x) = ( (3x^2 + 1 + (1/x)) x^2 - (x^3 + x + lnx) 2x ) / x^4
= (3x^3 + x + 1 - 2x^3 - 2x - 2lnx ) / x^3
= (x^3 - x + 1 - 2lnx) / x^3
Donc g(x) = x^3 - x + 1 - 2lnx.
ça me semble correct.

[invite88f203d5]

AAh ^^ oups. je m'étais en fait trompée en vous donnant la fonction f au départ. désolée ! ya bien du lnx/x^2, et non pas lnx/x.. ça éclaire pas mal de choses

[invite88f203d5]

C'est bon, tout va bien ! en faisant une division euclidienne, j'ai trouvé que g pouvait se factoriser par (x-1). à partir de là tout s'arrange.
merci pour votre aide !!!