dm sur la limite de fonction

[invite0a3ea468]

salut !! j'espere que vous pourrez m'aider pour mon devoir maison parce que la je panique je suis en première s et j'arrive pas a faire le deuxième exo alors svp aider moi
enoncé :
déterminer l'expression d'une fonction rationnelle dont la courbe représentative admet chacun des deux axes comme asymptote, coupe l'axe des abscisses au point d'absicisse -1 et admet une tangente horizontale au point d'abscisse -2
merci d'avance
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[Seirios]

Bonjour,

déterminer l'expression d'une fonction rationnelle dont la courbe représentative admet chacun des deux axes comme asymptote, coupe l'axe des abscisses au point d'absicisse -1 et admet une tangente horizontale au point d'abscisse -2

Tu cherches donc une fonction qui s'exprime sous la forme , avec P et Q des polynômes. Puisque l'axe des abscisses est une asymptote, tu sais que , c'est-à-dire que le degré de Q est plus élevé que celui de P. Ensuite, l'axe des abscisses est également une asymptote, donc 0 est racine de Q, et tu peux écrire , avec R un polynôme de degré inférieur à Q. De plus, tu sais que la courbe coupe l'axe des abscisses en -1, donc -1 est racine de P. Avec tout ça, tu peux déjà trouvé la forme de ta fraction rationnelle, et tu devrais pouvoir conclure en cherchant un peu

[invite0a3ea468]

merci ça va beaucoup m'aider

[invite0a3ea468]

desolé de te déranger mais je m'en sort pas je ne comprend pas comment tu en déduit tout ça et j'arrive pas à conclure ... je rame vraiment dans les asymptotes ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Je vais essayer de reprendre du début : Tu cherches une fonction f rationnelle, donc de la forme , avec P et Q des polynômes. Tu sais que le graphe de f admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale, c'est-à-dire que ; mais pour avoir cette limite, il faut obligatoirement que le degré de Q soit strictement plus grand que celui de P (dans l'expression de ta fraction rationnelle, si tu factorises par le plus haut degré de x au dénominateur et au numérateur, il faut qu'il te reste entre des puissances positives de x au numérateur pour que le quotient puisse tendre vers 0 ; si ce n'est pas très clair, je peux te donner une explication un peu plus rigoureuse et formelle). Ensuite, tu sais que le graphe de f admet l'axe des ordonnées comme asymptote, donc 0 est une valeur indéterminée de f, c'est-à-dire que Q(0)=0, et que Q peut s'écrire sous la forme , où R est un polynôme (de manière générale, si a est racine d'un polynôme P, P peut s'écrire sous la forme , avec R un polynôme). Tu sais également que le graphe de f coupe l'axe des abscisses en -1, donc f(-1)=0, c'est-à-dire P(-1)=0, donc -1 est racine de P et P peux s'écrire P(x)=(x+1)S(x), avec S un polynôme.

Tu peux donc chercher la fraction rationnelle la plus simple qui réponde à ces contraintes : , où b est une constante que tu ne connais, et dont tu ne sais pas a priori si elle existe. Mais tu sais que le graphe de f admet une tangente horizontale en -2, c'est-à-dire f'(-2)=0. Ainsi, à partir de l'expression de f ci-dessus, tu trouves une équation en b que tu peux résoudre.

Est-ce plus clair ?

[invite0a3ea468]

oui c tres clair là !!!! merci beaucoup tu m'aide vraiment la!! je sais pas comment j'aurai fais sinon

[invite0a3ea468]

encore une derniere chose , comment sais tu que si f(-1)=0 alors p(-1)=0 ?

[Seirios]

Tu as , donc si , alors .

[invite0a3ea468]

coucou, j'ai conpris ce dernier point j'ai plus de probleme avec se que tu m'as dit . par contre j'ai chercher b et je l'ai trouver egale a 5/2 je sais pas si c ça mais j'espere, et j'ai trouver sa en admettant que f'(2)=0 mais je le comprend pas trop ... merci pour tout

[Seirios]

Si tu as une tangente horizontale (donc avec un coefficient directeur nul) au point d'abscisse -2, tu devrais plutôt avoir .