Pgcd et ppcm

[invite8cf5b292]

bonjour,

Est ce que vous pouvez m'aider à :
trouver tous les couples d'entiers naturels (a,b) tels que :

pgcd (a,b)=5
ppcm(a,b)=8160

+ démonstration pour que je la comprenne .

merci d'avance
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[invitea3eb043e]

Déjà se simplifier la vie en raisonnant sur les nombres a/5 et b/5. Le ppcm de a et b contient forcément 5 donc le ppcm de a/5 et b/5 vaudra 8160/5=1632
1632 = 1 x (2^7) x 3 x 17
On cherche donc 2 nombres a' et b' premiers entre eux dont le ppcm vaut 1632.
1632 est le produit des 2 nombres a' et b' car le produit pgcd x ppcm vaut toujours le produit des nombres et pgcd=1.
On va donc partager les 1, les 2, le 3 et le 17 entre ces nombres et il ne doit pas y avoir de facteur commun, sinon ils ne seraient pas premiers entre eux.
On met 1 pour a' donc 1632 pour b'
Ensuite on met un 2 pour a' mais il faut les mettre tous, donc a'= 32 et b'=51
On peut mettre un 3 pour a' et b' = 544
On peut mettre 17 pour a' et b' = 96
On peut aussi mettre un 3 et un 17 pour a' mais on l'a déjà vu. Idem si on met un 3 et un 2^7 pour a'
C'est donc fini. On peut remultiplier par 5 si on veut.

[invite8cf5b292]

merci bien mais moi j'arrive au fait que a'b'=1632 et puis comment vous su qu'il faut choisir le 17,2,3...dans le cas général qu'est ce qu'on fait ?
merci d'avance

[invitea3eb043e]

Si a' b' = 1632, quand on décompose 1632 en facteurs premiers, on trouve des 2, un 3 et un 17. Ces nombres ne viennent pas du ciel : ils étaient dans a' ou b', donc il faut répartir ces 2, ces 3, et 17 entre a' et b' mais on ne peut pas partager les 2 entre a' et b' sinon ils ne seraient pas premiers entre eux.
Regarde comment partager ces 2, 3 et 17 et tu verras qu'il n'y a pas des milliers de façons de faire.

[A voir en vidéo sur Futura]