Exponentielle

[invite7ce56e30]

bonjour,pourriez vous m'aider pour cet exo svp.j'ai essayer plusieurs fois je n'y arrive pas du tout!!

Dans cet exo on admettra le rusultat suivant, pour tout réel non nul, exp x> x+1.

on considere la fct f definie par f(x)= x²-2ln(exp x -x)

on note C sa courbe représentative dans un repere orthonormal.

a) montrer que pour tout réel x: f(x)=x²-2x-2ln(1-xexp x puissance -x). en deduire la limite de f en + l'infini.

b)soit p la parabole d'equation y= x²-2x
Montrer que P est une courbe asymptote de la courbe C en + l'infini, puis etudier leur position relative.

c)Pour tout réel x strictement positif, on note M et N les points de c et P d'abscisse x. pour quelle(s) valeur(s) de x, la distance MN est elle maximale ?
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[Rhodes77]

Bonjour,

Pour la question a, il suffit de factoriser l'argument du logarithme (càd ce qui se trouve dans la parenthèse du ln) par exp(x).
Ensuite, il suffit de se souvenir que ln(a*b)=ln(a)+ln(b) où a et b sont de R+* chacun.
L'étude des limites se réduit alors, avec la forme proposée, à la limite d'une somme. Vous reconnaitrez "les termes qui l'emportent".
Pour la b, il suffit de se ramener à la définition d'une asymptote, dites nous si vous avez une idée de la procédure.
Pour la c, il faut exprimer la distance MN en fonction de x, et trouver la valeur pour laquelle elle est maximale, par exemple en dérivant...

Bon courage

[invite7ce56e30]

pour la b) faut que je montre que la limite de y que la limite en quel point tend vers +ou-l'infini??

pour la c) je ne comprend pas

[Rhodes77]

Pour montrer que la courbe p d'équation y(x) est asymptote en +inf à la courbe représentative de la fonction f, il faut et il suffit de montrer que :
lim (f(x)-y(x))=0 quand x tend vers +inf.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7ce56e30]

merci jvien de comprendre pour la b mais je n'ai toujours pas compris comment s'y prendre pour la c!

[Rhodes77]

Re,

Les points M et N sont tous les deux l'un au dessus de l'autre, puisqu'ils ont la même abscisse x.
Comment s'exprime alors la distance MN ? Que pensez vous de y(M)-y(N) en valeur absolue ?
Puisque vous avez calculé les positions relatives de la courbe et de son asymptote, vous pouvez vous affranchir de la valeur absolue en considérant la solution positive (càd en étudiant y(M)-y(N) ou bien y(N)-y(M) suivant que le point M ou le point N est au dessus du second).
Vous obtenez donc pour la distance MN une loi qui dépend de x : d_MN=d(x).
Vous devez alors trouver les valeurs de x pour lesquelles cette distance est maximale. Se pose alors la question suivante : quelle méthode utilisez-vous d'ordinaire pour calculer les extrema d'une fonction ?

Bon courage

[invite7ce56e30]

cmt je fais pour etudier lim -2ln(1-xexp-x) quand xtend vers + l'infini?

[invite7ce56e30]

bonjour pouvez vous m'aider pour la c,après sa je fais quoi??
on a M(x; f(x)) et N ( x; x²-2x)
M( x; x²-2x-2ln(1-x e -x ) )
on veut donc |2ln(1-x e -x)| maximal ?? comment dois je faire merci!!

[Rhodes77]

bonjour pouvez vous m'aider pour la c,après sa je fais quoi??
on a M(x; f(x)) et N ( x; x²-2x)
M( x; x²-2x-2ln(1-x e -x ) )
on veut donc |2ln(1-x e -x)| maximal ?? comment dois je faire merci!!

Re. Appelons g la fonction qui à x associe |2ln(1-x.exp(x))|.
A quelle condition g admet-elle un extremum .
Que peut-on dire de la dérivée de g au point où g admet cet extremum ?

[invite7ce56e30]

je ne vois pas le truc ??