Suite et récurrence

[invite2b14cd41]

Salut à tous.
Voila , je me demandais si la suite définie par :
a>0
u(0)=0
u(n+1)=sqrt(u(n)+a)

Qui s'écrit aussi : sqrt(a+sqrt(a+sqrt(a+....))) , est-elle toujours convergente ? (Pour le cas a=1 , on retrouve le nombre d'or )

Je sais qu'il faut prouver qu'elle est majorée et croissante ...
Mais , comment démontrer cela ?
Par exemple, je ne sais pas par quelle valeur elle devrait être majorée ... 10a , a²,100*a² ???
Bref , je ne vois pas quelle proposition utiliser dans mon raisonnement pas récurrence ...
Avez-vous une idée ?
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[Seirios]

Bonjour,

Tu peux remarquer que si , alors .

[invite2b14cd41]

Bonjour,

Tu peux remarquer que si , alors .

Désolé, mais je ne vois vraiment pas ou vous voulez en venir , et puis, d'ou viens ce "x" ?

[Seirios]

C'est le même principe que les fractions continues : si tu cherces à déterminer la valeur de , tu peux remarquer que ce nombre est solution de l'équation en : . En effet, si tu remplaces dans le membre de droite par une infinité de fois, tu remarques bien que le nombre que tu cherches est solution de l'équation. Est-ce plus clair ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2b14cd41]

C'est le même principe que les fractions continues : si tu cherces à déterminer la valeur de , tu peux remarquer que ce nombre est solution de l'équation en : . En effet, si tu remplaces dans le membre de droite par une infinité de fois, tu remarques bien que le nombre que tu cherches est solution de l'équation. Est-ce plus clair ?

Waw , magnifique, je n'avais jamais pensé comme ça auparavant ^^

Une dernière question : ceci constitue-t-il que la suite est convergente pour tout a>0 ? Ou bien y a-t-il une autre méthode plus "classique" ?