Variations

[inviteea6dc0d8]

Bonjour, Voici un exercice ou j'aimerais vérifier mes réponses et quelques aides pour les dernières questions.

1. On définit la fonction g sur ]0,+l'infini[ par g(x)= x² + 2lnx -1
1.a. Calculer les limites de g en 0 et +l'infini
1.b. Etudier les variations de g sur ]0,+l'infini[
1.c. Calculer g(1) puis en déduire le signe de g(x) sur ]0, +l'infini[
2. On définit la fonction f sur ]0,+l'infini[ par f(x)= (x^3 - x² - lnx) / (x²)
2.a. Calculer les limites de f en 0 et +l'infini
2.b. Démontrer que f'(x) = g(x) / x^3 puis étudier les variations de f sur ]0,+l'infini[
3. Soit D:y=x-1
3.a. Démontrer que la droite D est asymptote à Cf en +l'infini
3.b. Etudier les positions relatives de Cf et de D.
4. Démontrer qu'il existe un point unique de Cf qui admet une tangente parallèle à D.

Mes réponses : 1.a. lim en 0 = -l'infini et lim en +l'infini = +l'infini

1.b. g'(x)= (3x^3 +2) / e dans le tableau g(x) est croissant
1.c. g(1)=0 et le signe de g(x) est positif
2.a. Je trouve Forme indeterminé pour f(x) tend vers 0 Il n'y a pas un moyen d'avoir autre chose ? Et pour en +l'infini = FI
2.b je trouve bien le résultat

Pour le suite je n'y arrive vraiment pas.
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[Shadowlugia]

ta dérivée de g me semble bizarre :
dérivée de x² = 2x
dérivée de 2ln x = 2/x
tu devrais trouver g'(x) = 2(x²+1)/x ce qui est toujours positif sur IR+ et donc oui g est croissante sur cet intervalle

pour ce qui est de f, la limite en 0 n'est pas indéterminée : le numérateur tend vers + l'infini et le dénominateur vers 0 (les formes indéterminées sont - inf + inf, 0 x 0, 0 x inf et 0/0

en + l'infini, sers-toi du théorème des croissances comparées qui doit figurer dans ton cours (lim de ln x/x^n)

3a) calcule la limite en l'infini de f(x) - (x-1) : si elle fait 0 alors D est bien une asymptote oblique

3b) résous l'inéquation f(x) > x-1 ou f(x) <x-1
quand f(x) est inférieure à x-1, Cf est en dessous de D et inversement