[Similitudes - TS spé maths] Symétrie « glissée »

[inviteb90b824a]

Bonsoir,

J'ai un exercice à faire sur les similitudes, mais je n'arrive pas à le résoudre. Le voici :

La transformation f a pour écriture complexe z' = z(barre) + 4
1. a) Construisez M' image par f d'un point donné M.
b) Prouvez que f est un antidéplacement sans point invariant.

2.a) Prouvez que f ○ f est une translation. Précisez son vecteur v.
b) On pose g = t_{(-1/2)vecteur v} ○ f. Trouvez l'écriture complexe de g et caractérisez cette transformation.

3. Déduisez de la question précédente que f est la composée commutative d'une réflexion d'axe d et d'une translation de vecteur u, u étant un vecteur directeur de d.

Ci-dessous maintenant mes réponses actuelles :

1. a) Je ne sais pas comment construire graphiquement une telle similitude. Est-ce une réflexion puis une translation ?
b) J'ai écrit : z' = z(barre) + 4 est de la forme z' = az(barre) + b avec a = 1 et b = 4. C'est donc une similitude indirecte. De plus, |a| = |1| = 1 donc il s'agit d'une isométrie, et plus particulièrement d'un antidéplacement.
Pour prouver qu'il n'y a pas de point invariant, je comptais résoudre l'équation z' = z et trouver à la fin qu'il n'y a pas de solution. Seulement il y a un problème, voici ce que je trouve :
z = z(barre) + 4 ⇔ z - z(barre) - 4 = 0 ⇔ x + iy - (x - iy) - 4 = 0 ⇔ 2iy - 4 = 0 ⇔ iy = 2 ⇔ y = 2/i = -2i.
Je n'arrive pas à interpréter ce résultat, les x se sont annulés...

2. a) Aucune idée de la démarche à suivre...
b) Je n'y arrive pas non plus, de toute façon je ne sais pas donner l'écriture complexe d'une composée.

3. Idem.

J'ai l'impression de ne rien comprendre à ce chapitre... j'espère que vous pourrez m'aider. Merci d'avance pour toute aide.
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[Flyingsquirrel]

Salut,

1. a) Je ne sais pas comment construire graphiquement une telle similitude. Est-ce une réflexion puis une translation ?

Oui. De quelle réflexion s'agit-il ? De quelle translation s'agit-il ?

b) J'ai écrit : z' = z(barre) + 4 est de la forme z' = az(barre) + b avec a = 1 et b = 4. C'est donc une similitude indirecte. De plus, |a| = |1| = 1 donc il s'agit d'une isométrie, et plus particulièrement d'un antidéplacement.

Oui.

Pour prouver qu'il n'y a pas de point invariant, je comptais résoudre l'équation z' = z et trouver à la fin qu'il n'y a pas de solution. Seulement il y a un problème, voici ce que je trouve :
z = z(barre) + 4 ⇔ z - z(barre) - 4 = 0 ⇔ x + iy - (x - iy) - 4 = 0 ⇔ 2iy - 4 = 0 ⇔ iy = 2 ⇔ y = 2/i = -2i.
Je n'arrive pas à interpréter ce résultat, les x se sont annulés...

Quand tu poses tu supposes (sans le dire, ce qui n'est pas très rigoureux) que et sont des réels. Ensuite tu résous l'équation et tu obtiens que donc que n'est pas réel. Que peux-tu en déduire ?

2. a) Aucune idée de la démarche à suivre...

Commence par calculer ...

[inviteb90b824a]

Bonjour,

Tout d'abord merci de la réponse !

1. a) C'est une réflexion de l'axe des abscisses puis une translation de vecteur 4u je pense...

1. b) Ahhh, on a un résultat impossible (y = -2i) car y est réel donc l'équation n'a pas de solution ?! Et dans ce cas il n'y a pas de point invariant.

2. a) f(f(z)) = [z(barre) + 4](barre) + 4 = z + 4 + 4 = z + 8. Translation de vecteur v = 8u ?
Je pense pouvoir faire la suite du coup :
g = t_{(-1/2) vecteur v} o f = z(barre) - 1/2 × 8 + 4 = z(barre).
g est une réflexion de l'axe des abscisses ?

[Flyingsquirrel]

1. a) C'est une réflexion de l'axe des abscisses puis une translation de vecteur 4u je pense...

On dit plutôt « réflexion d'axe l'axe des abscisses » ou « réflexion par rapport à l'axe des abscisses » mais oui, c'est ça. Du coup tu sais construire à partir de .

1. b) Ahhh, on a un résultat impossible (y = -2i) car y est réel donc l'équation n'a pas de solution ?! Et dans ce cas il n'y a pas de point invariant.

Exactement.

2. a) f(f(z)) = [z(barre) + 4](barre) + 4 = z + 4 + 4 = z + 8. Translation de vecteur v = 8u ?

Oui. (n'oublie pas de préciser qui est )

Je pense pouvoir faire la suite du coup :
g = t_{(-1/2) vecteur v} o f = z(barre) - 1/2 × 8 + 4 = z(barre).
g est une réflexion de l'axe des abscisses ?

Oui. Est-ce que tu peux en déduire la réponse à la dernière question ?


Pour quelqu'un qui dit avoir l'impression de « ne rien comprendre à ce chapitre » tu t'en sors plutôt bien.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb90b824a]

Pour quelqu'un qui dit avoir l'impression de « ne rien comprendre à ce chapitre » tu t'en sors plutôt bien.

Disons que le problème est que j'ai à chaque fois besoin qu'on me mette sur la piste... Du coup, toute seule, je suis incapable de résoudre un tel exercice. Après, ça va à peu près. :P

Oui. Est-ce que tu peux en déduire la réponse à la dernière question ?

Euh... On a g = t o f = S_{axe des abscisses} avec S_{axe des abscisses} la réflexion d'axe l'axe des abscisses d'après la question précédente. Mais après je n'arrive pas à exprimer f en fonction de la « réflexion d'axe d et d'une translation de vecteur u »...

[Flyingsquirrel]

Euh... On a g = t o f = S_{axe des abscisses} avec S_{axe des abscisses} la réflexion d'axe l'axe des abscisses d'après la question précédente. Mais après je n'arrive pas à exprimer f en fonction de la « réflexion d'axe d et d'une translation de vecteur u »...

Tu peux te servir de , l'application réciproque de , pour isoler dans l'équation

t o f = S_{axe des abscisses}

On t'a parlé d'application réciproque en cours ?

[inviteb90b824a]

On t'a parlé d'application réciproque en cours ?

Oui !

Tu peux te servir de , l'application réciproque de , pour isoler dans l'équation

t o f = S_{axe des abscisses}

Justement, je ne vois pas comment faire. Je ne sais pas si c'est f = S o t^-1 ou f = t^-1 o S qu'il faut écrire.

[Flyingsquirrel]

Justement, je ne vois pas comment faire. Je ne sais pas si c'est f = S o t^-1 ou f = t^-1 o S qu'il faut écrire.

Reviens à la définition de : si existe on a pour tout complexe . Pour isoler dans le membre de gauche on a donc intérêt à composer par :

c'est-à-dire

car pour tout complexe , .

Il reste à montrer que cela a un sens de parler de et à déterminer une expression de .

[inviteb90b824a]

Reviens à la définition de : si existe on a pour tout complexe . Pour isoler dans le membre de gauche on a donc intérêt à composer par :

c'est-à-dire

car pour tout complexe , .

Il reste à montrer que cela a un sens de parler de et à déterminer une expression de .

Mais est ce qu'on a aussi la relation t o t^-1 = z ?
Parce que si c'est le cas, on aurait également pu écrire :
t o f = S ⇔ t o f o t^-1 = S o t^-1 ⇔ f = S o t^-1

Autre chose : que voulez-vous dire par « montrer que cela a un sens de parler de t^-1 » ? Et l'expression de t^-1 n'est-elle pas z' = z + 4 : une translation de vecteur -(-4)u = 4u ?

[Flyingsquirrel]

Mais est ce qu'on a aussi la relation t o t^-1 = z ?

Écrit comme cela, non. est une fonction, un nombre complexe donc ça n'a pas tellement de sens d'écrire . Par contre on peut dire que pour tout complexe , ou encore que où est l'application identité ( pour tout ).

Parce que si c'est le cas, on aurait également pu écrire :
t o f = S ⇔ t o f o t^-1 = S o t^-1 ⇔ f = S o t^-1

Comment passes-tu de « t o f o t^-1 = S o t^-1 » à « f = S o t^-1 » ?

Autre chose : que voulez-vous dire par « montrer que cela a un sens de parler de t^-1 » ?

Certaines applications n'admettent pas d'application réciproque car elles prennent plusieurs fois la même valeur. Par exemple le sinus (vu comme fonction allant de dans ) s'annule en 0 et en , on ne peut donc pas définir . Pour parler de il faut donc s'assurer que cette application existe. Ici c'est simple, il suffit de dire ceci :

Et l'expression de t^-1 n'est-elle pas z' = z + 4 : une translation de vecteur -(-4)u = 4u ?

car avec l'expression que tu donnes on a bien pour tout , ce qui est la définition de .

[inviteb90b824a]

Écrit comme cela, non. est une fonction, un nombre complexe donc ça n'a pas tellement de sens d'écrire . Par contre on peut dire que pour tout complexe , ou encore que où est l'application identité ( pour tout ).

Comment passes-tu de « t o f o t^-1 = S o t^-1 » à « f = S o t^-1 » ?

On sait que t o t^-1 est l'identité du plan, donc on peut rayer t et t^-1 dans l'expression t o f o t^-1 selon moi. Le fait qu'il y ait f entre t et t^-1 change-t-il quelque chose ?

Certaines applications n'admettent pas d'application réciproque car elles prennent plusieurs fois la même valeur. Par exemple le sinus (vu comme fonction allant de dans ) s'annule en 0 et en , on ne peut donc pas définir .

Je ne comprends pas l'exemple.. chercher sin^-1(0) ne revient-il pas à résoudre sin z = 0 ? Si c'est le cas, on a bien comme solutions les nombres complexes définis par z = 0 []. Pourquoi est-ce que ça ne convient pas ?

Pour parler de il faut donc s'assurer que cette application existe. Ici c'est simple, il suffit de dire ceci :

car avec l'expression que tu donnes on a bien pour tout , ce qui est la définition de .

Il y a peut-être eu un bug, je ne comprends pas la phrase ! :P

Edit : Ah non, je n'ai rien dit j'ai compris la dernière phrase ! Donc pour montrer qu'une application réciproque existe, il suffit juste trouver son expression et montrer que t^-1 o t(z) = z ?

[Flyingsquirrel]

Le fait qu'il y ait f entre t et t^-1 change-t-il quelque chose ?

Les seules simplifications possibles consistent à remplacer ou par l'identité, a priori tu ne peux donc pas simplifier.

Je ne comprends pas l'exemple.. chercher sin^-1(0) ne revient-il pas à résoudre sin z = 0 ? Si c'est le cas, on a bien comme solutions les nombres complexes définis par z = 0 []. Pourquoi est-ce que ça ne convient pas ?

Parce que pour définir l'application de dans il faut donner une valeur (et une seule) à . Par définition de on doit avoir et donc . Or , ce qui est contradictoire avec la définition de l'application réciproque. L'application n'admet donc pas d'application réciproque. (mais il est possible d'en définir une si l'on restreint le domaine de définition du sinus à par exemple)

Donc pour montrer qu'une application réciproque existe, il suffit juste trouver son expression et montrer que t^-1 o t(z) = z ?

Exactement.

[inviteb90b824a]

Les seules simplifications possibles consistent à remplacer ou par l'identité, a priori tu ne peux donc pas simplifier.

D'accord, je vois. Donc on a forcément f = t^-1 o S, du coup f est la composée de la réflexion d'axe l'axe des abscisses et de la translation de vecteur 4u, u étant le vecteur unitaire. Et pour prouver que f est commutative, on vérifie que f = S o t^-1 ?
On a f(z) = S(t-1(z)) = (z+4)(barre) = z(barre) + 4 ce qui correspond bien aux données de l'énoncé. C'est juste ?

Parce que pour définir l'application de dans il faut donner une valeur (et une seule) à . Par définition de on doit avoir et donc . Or , ce qui est contradictoire avec la définition de l'application réciproque. L'application n'admet donc pas d'application réciproque. (mais il est possible d'en définir une si l'on restreint le domaine de définition du sinus à par exemple)

D'accord j'ai compris ! sin^-1(0) est défini sur car ∉ donc il n'y a qu'une seule solution qui est z = 0 car 0 ∈ .. ?

[Flyingsquirrel]

Donc on a forcément f = t^-1 o S, du coup f est la composée de la réflexion d'axe l'axe des abscisses et de la translation de vecteur 4u, u étant le vecteur unitaire.

Oui.

Et pour prouver que f est commutative, on vérifie que f = S o t^-1 ?
On a f(z) = S(t-1(z)) = (z+4)(barre) = z(barre) + 4 ce qui correspond bien aux données de l'énoncé. C'est juste ?

Oui, c'est juste. (par contre on dit « est la composée commutative de et de » ou « et commutent pour l'opération de composition » plutôt que « est commutative »)

D'accord j'ai compris ! sin^-1(0) est défini sur car ∉ donc il n'y a qu'une seule solution qui est z = 0 car 0 ∈ .. ?

Voilà, si l'on se restreint à , pour tout l'équation admet une unique solution . En posant on définit l'application de dans qui est bien la réciproque de l'application .

[inviteb90b824a]

Très bien, j'ai tout compris alors. Merci beaucoup de votre aide !