Integration

[invite2f252b5c]

bonjour
je je suis en terminal S et j'ai un peu de mal à faire mon exercice de math et j'auarais bien besoin d'un peu d'aide. Voici l'énoncé

On considére la fonction f définie sur[0;1] par f(x)=0 et f(1)=1 et pout tout x appartenant ]0;1[ f(x)=(x-1)/ln(x)
1) démontrer que f est continue sur [0;1],
2)On pose F(x)= intégrale de x à 1 de f(t) dt , et G(x)= intégrale de x à 1 de f(x)/t dt
démontrer que F et G sont bien définies sur puis qu'elle est dérivable sur cet intervalle ]0;1], puis qu'elles sont dérivables sur cet intervalle
3) on pose H(x)=G(x²)-G(x)+F(x)
a)démontrer que H est dérivable sur sur ]0;1], puis calculer sa dérivée.
b)En déduire que pour tout x appartenant à ]0;1] F(x)=intégrale allant de x² à x de f(t)/t dt
c)Prouver que pour tout x appartenant à ]0;1[ , intégrale allant de x² à x de 1/(t.ln(t)) dt = -ln(2)
d)En déduire que tout x appartenant à]0;1[ : F(x)=intégrala allant de x² à x de 1/ln(t) + ln(2)
4)soit x appartenant à ]0;1[, prouver que pout tou t comprit dans [x²;x], 2ln(x)<=ln(t)<0
En déduire un encadrement de F(x)
Déterminer le limite de x lorsque x tend vers 0

désoler pour l'écriture mais je sais pas comment faire l'intégrale.
J'ai réussi la 1er question mais pour tous les autres je rencontre des problèmes. j'attend votre aide avec impatiente et je vous remercie d'avance.
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[invite5150dbce]

x|-->(x-1) est dérivable sur IR donc sur ]0;1[
x|-->ln(x) est dérivable sur ]0;+inf[ donc sur ]0;1[
Or pour tout x appartenant à ]0;1[, lnx est différent de 0
Donc x|-->1/lnx est dérivable sur ]0;1[
f est dérivable sur ]0;1[ comme somme de fonctions dérivables sur ]0;1[
f est donc continue sur ]0;1[

lim(x-->0, x>0)(ln(x))=-inf
Donc lim(x-->0, x>0)(1/ln(x))=0
Or lim(x-->0)(x-1)=-1 car x|-->x-1 est continue sur IR donc en 0
Donc d'après les règles opératoires sur les limites, lim(x-->0, x>0)(f(x))=0=f(0)
Donc f est continue en 0

lim(x-->1)[ln(x)/(x-1)]
=lim(x-->1)[ln(x)-0/(x-1)]
=lim(x-->1)[ln(x)-ln(1)/(x-1)]
=ln'(1)=1/1=1 puisque ln est dérivable en 1
Donc lim(x-->1)[(x-1)/lnx]=1=f(1)
Donc f est continue en 1
f est donc continue sur [0;1]

[invite2f252b5c]

boujour hhhh89
merci mais cette question je l'avais réussi, en faite c'est la seul que j'ai réussi , c'est les autres questions qui me pose problème

[invite2f252b5c]

boujour hhh86

désolé j'avais mal écrit ton pseudo

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