Produit scalaire dans l'espace

[inviteef8c6847]

Bonjour, voilà j'ai des petits problèmes pour des exos simples de géométrie dans l'espace.

Bon, pour le premier, j'ai 4 points, A(1;0;-2) B(3;3;1) C(4; 9/2 ; 5/2)
D(1; 13/2 ; 5/2)

On me demande si le point C est le projeté orthogonal de D sur la droite (AB)

J'ai calculé AB.CD, ça fait 0. (AB et CD sont des vecteurs, j'arrive pas à mettre les flèches au-dessus)

Ensuite je dois prouver que C est sur la droite (AB), et ça je sais pas comment faire...

Puis j'ai un autre problème sur un deuxième exercice :

Deux points A(2;-5;1) et B(0;2;6)
Je dois montrer que la droite d passant par C (-2;3;1) et de vecteur directeur u=-4i+j-3k (i,j et k sont aussi des vecteurs) est orthogonale à (AB)...
Là je vois pas du tout comment faire

Si vous pouviez m'aider, j'ai vraiment besoin de combler mes lacunes en géométrie dans l'espace.

Merci d'avance.
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[invite83f03d71]

On me demande si le point C est le projeté orthogonal de D sur la droite (AB)

J'ai calculé AB.CD, ça fait 0. (AB et CD sont des vecteurs, j'arrive pas à mettre les flèches au-dessus)

Ensuite je dois prouver que C est sur la droite (AB), et ça je sais pas comment faire...

C est le projeté orthogonal de D sur (AB)
donc C appartient à (AB)

[invite83f03d71]

Puis j'ai un autre problème sur un deuxième exercice :

Deux points A(2;-5;1) et B(0;2;6)
Je dois montrer que la droite d passant par C (-2;3;1) et de vecteur directeur u=-4i+j-3k (i,j et k sont aussi des vecteurs) est orthogonale à (AB)...
Là je vois pas du tout comment faire

C'est simple tu calcule l'équation paramétrique de la droite (AB) et tu obtient son vecteur directeur d
et là tu fais d.u et tu montre que ça fait 0
donc que u est normal à (d)

[inviteef8c6847]

Ok pour l'équation paramétrique

Par contre pour le projeté orthogonal, en principe je ne sais pas que C est le projeté de D vu que je dois le démontrer...
je dois donc trouver si C est sur la droite (AB) ou non mais je sais pas comment faire

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite83f03d71]

tu cherches l'équation paramétrique de la droite (AB)
et tu vérifies si les coordonnées de C vérifient l'équation de (AB)
donc C appartient à (AB) et AB.CD= 0
donc C est le projeté orthogonal de D sur (AB)

[inviteef8c6847]

Ok merci pour ton aide...Euh par contre, j'ai beau chercher dans mon cours, l'équation paramétrique d'une droite ça me dit quelque chose mais je la retrouve pas. Tu pourrais me dire ce que c'est et comment la trouver STP (ou m'envoyer un lien qui explique).

encore merci d'avance

[invite83f03d71]

Soient A(x_A;y_A;z_a), B(x_B;y_B;z_B)
et soit M(x;y;z) un point de (AB)
il existe donc un réel t tel que
donc: (AB):
ou si on pose