Équation différentielle

[invite31dc2028]

Bonjour, j'aimerais savoir pourquoi la solution de cette equation differentielle est :
y(x) = 2x - 1 et non pas : y(x) = -exp(-2x)+2x


L'équation differentielle étant : y' + 2y = 4x telle que y(0) = -1

Merci de votre aide
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[SchliesseB]

y' + 2y = 4x

équation homogene y'=-2y solution exp(-2x)
une solution particulière: un polynôme de degré 2 semble fonctionner,

on le met dedans: on trouve 2x-1 (en particulier 2x n'est pas solution, la constante ne s'annule pas, ton erreur doit être là)

les solutions sont kexp(-2x)+2x-1
y(0)=-1 => k=0

[invite31dc2028]

Salut, merci de me répondre, mais je comprends pas exactement :
Pourquoi ecris-tu y' = -2y ? Que fais tu du + 4x ?!
Sinon je ne comprends pas ta solution : tu trouves exp(-2x) que fais-tu de la constante k qui est devant ?

[SchliesseB]

relis ton cours

on résout l'équation différentielle homogène associée (d'où le 4x qui disparait)

l'ensemble des fonctions solutions est un sous-espace affine (=solution particulière + espace vectoriel solution de l'eq homogène =solution particulière + une constante * une solution de l'équation homogène ici)

la constante k est déterminée par la valeur de la fonction en un point (condition initiale) ici f(0)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite31dc2028]

Visiblement j'ai du mal à comprendre la notion d'équation homogene.
Je sais résoudre une équation de type : y' = ay + b

Mais quand on ajoute du x deriere je comprends pas comment tu fais. j'ai cherché dans mon livre et on ne parle pas vraiment de cette notion.
Est-ce du programme de Terminale ?
Merci de ton aide !

[Plume d'Oeuf]

Bonjour,

Non ce n'est pas du programme de terminale.

Une courte explication serait de dire qu'une équation différentielle linéaire du premier ordre (E) s'écrit:
E: f'(x)+a.f(x) = g(x) où a est un réel et g une fonction quelconque.

L'équation homogène associée s'écrit: f'(x)+a.f(x) = 0.

En terminale, on se contente de résoudre l'équation quand g(x) est une constante réelle, ce qui se ramène à l'équation homogène si g(x)=0. Ton problème vient du fait que dans l'équation que tu nous proposes g(x) = 4x n'est pas constant.

En licence, on apprend à résoudre l'équation (E) en sommant la solution de l'équation homogène et une solution particulière. C'est ce que SchliesseB fait.

Bon courage!

[SchliesseB]

désolé, je pensais que tu avais fais les équations différentielles homogènes pas seulement quand g (pour reprendre les notations ci dessus) était constante.

mes excuses

pour reprendre ce qui est dit ci dessus:
à l'équation
f'(x)+a(x)*f(x)=b(x)

on cherche TOUTES les solutions de f'(x)+a(x)f(x)=0 (c'est une droite c'est à dire toutes les solutions s'écrivent constante* une certaine solution qu'on écrit k*f0)

puis on cherche UNE solution (appelons là f1) de l'équation totale.

alors si g(x) vérifie l'équation totale, g-f1 est solution de l'équation homogène et donc g-f1=k*f0 pour un certain k

ainsi toutes les solutions s'écrivent f1+k*f0 avec k une certaine constante, f1 une solution de l'équation totale, f0 une certaine solution non nulle de l'équation homogène.

[invite31dc2028]

Merci de toutes ces explications, comme ca je m'avance sur le programme !

Je récapitule un peu tout ce que j'ai compris dans le cas de mon exercice :

Je dois résoudre (E1) : y' + 2y = 4x
Soit de forme y'(x)+ ay(x) = g(x)
Comme g(x) n'est pas constante comme vu "normalement" je dois résoudre l'équation homogene.

Soit d'abord : y' = -2y Ce que me donne comme solution homogene :
fo = k*exp(-2x)

Une fois que j'ai cette solution je dois sommer avec la solution de g(x) qui est 4x ce qui me donnera f1 solution de l'équation totale !
Mais comment faire pour trouver la solution de g(x) ?
Je crois que c'est ici que je me plante si vous pouvez me detailler ce point ce serait tres sympa !
Merci beaucoup de votre aide !

[SchliesseB]

ensuite il faut que tu trouves une solution de l'équation complète et tu auras toutes les solutions (en ajoutant les solutions de l'eq homogène)

pour ça, on cherche une solution "à l'oeil" et ici un polynôme de degré 1 à l'air de marcher
on écrit f(x)=ax+b
on le met dans l'équation
on essai de trouver a et b pour que ça marche

et voila

[invite31dc2028]

Et bien a = 4 et b = 0 ?

Je ne vois pas comment tu arrive de 4x à 2x - 1 ?! Pourquoi "a" serait égale à 2 et "b" = -1 ?!

J'ai l'impression de tout confondre, c'est horrible !

On pose : 4x = ax + b ? Comment trouves tu la solution à l'oeuil ?! Ça me semble complètement débile mais rien ne me vient...
merci..

[SchliesseB]

f(x)=ax+b
on veut que f'(x)+2f(x)=4x
soit ...



on a donc une solution de notre équation et donc toutes par ce qu'on a écrit ci dessus. la condition initiale nous donnera LA solution qu'on cherche.

[invite31dc2028]

Ca y est j'ai compris !
Je comprends enfin pourquoi on arrive à un tel resultat !
Pourrais tu me faire une équation différentielle dans le même style afin que je vois si j'arrive au même résultat que toi ?!
Merci beaucoup de ton aide !

[SchliesseB]

cherche sur le net, il y a plein d'exercices corrigés