distance entre deux courbes

[invite616a69c2]

Bonjour,

Voici la question sur laquelle je bloque.
Lorsque M1 parcourt la courbe f1(x)=e^x et lorsque M2 parcourt la courbe f2(x)=ln(x), quelle est la valeur minimale de la distance M1M2?

Mon explication, que je trouve "foireuse":
les courbes f1 et f2 sont symétriques par rapport à la droite (d):y=x
La distance minimale entre M1 et M2 est égale à 2 fois la distance minimale entre M appartenant à (d) et M1 (ou entre M et M2).
Cette distance est la plus courte lorsque la tangente à f1 au point M1 est paralléle à la tangente à f2 au point M2 et est paralléle à la droite (d).
Il nous est demandé précédemment dans l'exercice de calculer ces tangentes, elle sont au point M1(1;0) et M2(0;1)
La distance minimale est donc

En fait je ne vois pas comment expliquer le fait que ce soit lorsque les tangentes sont paralléles.
Merci de votre aide.
Amanda
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[danyvio]

Peut-être qu'en dérivant e^x - ln(x) ...

[invite616a69c2]

j'ai essayé, j'ai voulu faire le tableau de variation mais je galère un peu, j'ai g(x)=e^x-ln(x) alors g'(x)=e^x-1/x et la comment je résoud g'(x)=0?? car sinon j'ai g décroissante sur ]0,a] et croissante sur [a, + infini[ avec a tel que g'(a)=0.
g'(x)=0 équivaut à x=-ln(x), je tourne en rond

[Plume d'Oeuf]

Bonjour,

Je ne sais pas s'il y a une solution analytique à , i.e .

Une façon de faire serait de tracer les courbes de et de et d'approcher leur intersection numériquement.


Sinon, comme et , alors et donc .

On peut maintenant poser que , écrire le développement de Taylor à un ordre donné de avec et voir ce qui en ressort pour la valeur de .
A l'ordre 1 par exemple on obtient . Bien sûr cette valeur est toujours discutable puisqu'approchée!

Bon courage!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite616a69c2]

Taylor est un peu poussé, je dois résoudre cet exercice niveau 2nd/ 1ere malheureusement

[Flyingsquirrel]

Peut-être qu'en dérivant e^x - ln(x) ...

D'après ce que j'ai compris de l'énoncé et ont a priori des abscisses différentes donc on ne peut pas se contenter d'étudier cette fonction (ou alors j'ai raté quelque chose).

Soient un point de la courbe de et un point de . Pour minimiser la distance on peut travailler en deux temps :

• On fixe et on cherche pour quelle abscisse (qui dépend uniquement de ) la distance est minimale.
• On minimise qui est simplement une fonction de .

J'espère que mon explication est à peu près claire.

[Plume d'Oeuf]

Je trouve ca joliment fait.

[invite616a69c2]

C'est bien ça les abscisses sont différentes.
La distance M1M est
comment chercher en fonction de c'est plutot moche!

[Flyingsquirrel]

comment chercher en fonction de

En faisant de la géométrie plutôt qu'une étude de fonction. On a point et on cherche quel point de la droite est le plus proche de . Il a un nom ce point remarquable...

 Cliquez pour afficher

c'est le projeté orthogonal de sur .

Reste à calculer ses coordonnées.

[invite616a69c2]

La distance minimum est lorsque l'intérieur de la racine vaut 0.
Donc résolution d'une équation du second degrés avec x1 fixe.

[Flyingsquirrel]

La distance minimum est lorsque l'intérieur de la racine vaut 0.

Mais rien ne dit que le truc sous la racine s'annule.

[invite616a69c2]

Donc on en revient à la distance d'un point à une droite!!
la droite (d): x-y=0 et le point
La distance vaut:

[Flyingsquirrel]

la droite (d): x-y=0 et le point
La distance vaut:

C'est à ce moment là que l'on se rend compte que je ne connais pas la formule de la distance d'un point à une droite.

Du coup c'est plus simple qu'avec ma méthode, pas besoin de calculer les coordonnées du projeté orthogonal, y'a plus qu'à trouver le minimum de ...

[Rhodes77]

Ah ah ! Si les points n'ont pas la même abscisse alors c'est le post du même nom que j'ai ouvert aussi cet après midi !
D'ailleurs y'a que moi qui y aie posté, enfin c'est pas grave !
Oui donc, on cherche à minimiser la distance MN=d(x,a) où M(x,f(x)) est un point de la première courbe et N(a,g(a)) est un point de la deuxième.
Alors il convient de résoudre le système suivant : dd/da = 0 et dd/dx=0.
Et c'est bien chi.. euh pénible.

[Rhodes77]

Et donc finalement, pour répondre à la question d'Amanda83, lorsque l'on calcule dd/da=0 et dd/dx=0, on trouve :
(x-a)+(g(x)-f(a)).f'(a)=0 d'une part et
(x-a)+(g(x)-f(a)).g'(x)=0 d'autre part.

Par combinaison linéaire, on trouve facilement en les soustrayant que, si les courbes ne se coupent pas, que c'est vérifié si f'(a)=g'(x), càd que les tangentes sont parallèles.
Ici, en prenant f(x)=exp(x) et g(x)=x (car la symétrie permet de réduire l'étude), cette condition amène directement à 1=exp(a) soit a=0.
Les deux points des deux courbes représentatives sont donc M(0;1) et N(1;0). La distance qui les sépare vaut bien rac(2).

[invite616a69c2]

Ok merci Rhodes pour l'explication des droites paralléles.

Merci Flyingsquirrel, je trouve bien le minimum pour x1=0 et cela fonctionne.
Euh pour la formule de la distance d'un point à une droite, j'avoue, j'ai les bouquins de 2nd, 1ere et TS toujours sous la main, je ne la connais pas plus

Merci à tous bonne soirée
Peut être à demain (je bloque sur un exo d'arithmétique mais je vais encore chercher avant)