Problème vectoriel

[invite585e272b]

Bonjour !

J'ai un DM à faire pour la rentrée et j'ai vraiment du mal . J'ai recherché dans mon cours et rien ne se rapporte à ce type d'exo ..
Peut-être que l'un de vous pourra m'aider ?

(O;i;j;k) est un repère de l'espace. On donne les points A(3;2;0) B(0;5;0) C(2;7;0) et D(3;2;6).
On admet que les triangles ACD et ABD sont rectangles en A

1) Calculer les coordonnées des vecteurs AB, AC, AD et BC ( dsl je sais pas comment on met les flèches aux vecteur )

JUsque là tout va bien j'ai trouver ceci :

vecteur AB (-3;3;0)
vecteur AC (-1;5;0)
vecteur AD (0;0;6)
et vecteur BC (2;2;0)

2) Quelle est la nature du triangle ABC? justifiez votre réponse
3) Calculer le volume de la pyramide ABCD

Quelqu'un pourrait m'aider ?

Merci d'avance, bonne journée .


Camille
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[invitee4ef379f]

Bonjour,

Au vu de l'énoncé, je vais supposer que tu n'es pas encore en 1ère, et qu'il faut se passer des produits scalaires.

Déterminer la nature d'un triangle signifie dire s'il est isocèle, équilatéral, plat ou quelconque.

Ma question est: qu'est ce qui caractérise chacun de ces types de triangle?

Bon courage!

[invite585e272b]

Hello plume d'oeuf ..

Et bien si je suis en première, et j'ai fait les produits scalaires en cours, malheureusement j'ai énormément de mal et je n'ai pas compris la leçon .. C'est pourquoi je ne comprends pas le raisonnement à effectuer ..

[invitee4ef379f]

Bonjour,

Oui pardon, je viens de me rendre compte qu'on n'aurait pas posé un énoncé en 3D avant la 1ère, désolé pour ça.

Cela va simplifier les choses ceci dit.

Un produit scalaire est une opération entre deux vecteurs qui donne un scalaire. Le terme "scalaire" est un autre nom pour "nombre".

Soient deux vecteurs et de coordonnées respectives et .
Le produit scalaire entre ces deux vecteurs peut se calculer de deux façons:

1)
où représente l'angle formé par ces deux vecteurs

2)

La manière dont tu calcules un produit scalaire dépend de ce qui t'est donné dans l'énoncé.

Maintenant, à quoi cela peut il bien servir?? Le produit scalaire est une opération très pratique qui permet de projeter un vecteur sur un autre, ce dont on ne se rend pas toujours compte au lycée.

En conséquence, si deux vecteurs sont orthogonaux, tu seras d'accord avec moi que le projeté de l'un sur l'autre est le vecteur nul. Il est est de même pour leur produit scalaire: deux vecteur orthogonaux ont un produit scalaire nul. Au lycée, on utilise majoritairement le produit scalaire donc pour vérifier/prouver que deux vecteurs sont orthogonaux.

Un bonne approche dans ce genre d'exercice est de commencer par calculer quelques produits scalaires pour vérifier si on n'a pas, à tout hasard, un triangle rectangle.

Sinon, on peut toujours calculer les longueurs des côtés et regarder si le triangle est isocèle, équilatéral, plat, rectangle ou quelconque.

Bon courage!

[A voir en vidéo sur Futura]

[mag88]

Salut,

Le produit scalaire c'est simple :
Si tu as 2 vecteurs u(a,b,c) et v(A,B,C) alors u.v = aA+bB+cC
(il y a aussi d'autres formules mais ici c'est celle-là qui t'intéresses).

Et tu as une propriétés très importante à retenir : (u perpendiculaire à v) équivaut à (u.v=0)

Donc pour la question 2, si tu as fait le dessin tu as du voir que le triangle ABC est très certainement rectangle en B. C'est donc sûrement ça qu'il faut essayer de démontrer.

Donc avec la propriété que j'ai citée au-dessus, tu n'as qu'à calculer AB.BC et montrer que ce produit scalaire est égal à 0. Alors ça signifie que AB et BC sont perpendiculaires donc ABC est rectangle en B.

[invitee4ef379f]

1)

Pardon, il fallait lire:

[invite585e272b]

Merci pour tout vos éléments d'aide et de réponse !
C'est super de votre part =)

Je vous montre donc ce que j'ai fait :

Si le triangle ABC est rectangle alors vecteur AB perpendiculaire à vecteur AC
-> d'où si le triangle est rectangle on devrait avoir :
vect. AB . vect. AC = 0

Or on a vect. AB ( -3;3;0) et vect. AC ( -1;5;0)

Donc vect. AB . vect AC = (-3)*(-1) + (3*5) + (0*0) = 18

Donc le triangle n'est pas rectangle ..


Ensuite, j'ai fait pour isocèle:

AB = || vect AB || = racine de ((-3)²+3²)) = 4.24 ..
AC = || vect AC || = racine de ((-1)² + 5² ) = 5.099..

Donc le triangle n'est pas isocèle non plus


J'en conclue que le triangle est quelconque ..

J'espere que c'est bien ca .

En tout cas, 1000* merci à vous .

BOnne journée .


Camille

[invitee4ef379f]

Huhu non attention!!!

Tu as trois angles dans ton triangle, il peut être rectangle en n'importe lequel de ces angles!! Tu n'as donc pas un produit scalaire à calculer, mais 3!!!

Et le triangle n'est pas quelconque, si nous insistons avec les produits scalaires, c'est bien parce qu'il est rectangle!

Bon courage!

[invite585e272b]

Ah oui en effet ..

Bon ben alors j'y retourne !

Merci bcp (:

[invite585e272b]

Voilà j'ai trouvé (:
vectAB . vect BC = (-3) * 2 + 3 * 2 =0

Donc il est rectangle en B !

Merci d'avoir pris le temps de m'expliquer et de m'orienter ! ( et d'insister )

Bonne aprem (:

Camille

[mag88]

C'est bien ça !!

Quand on te demande de donner la nature d'un triangle, commence toujours par regarder le dessin. En général tu peux tout de suite savoir ce que tu dois démontrer. En effet, ici ça se voit sur le dessin que le triangle est rectangle en B. Si tu commences par là ça t'évite de calculer tous les produits scalaires, tu ne fais que l'angle B. Et puis en plus le dessin permet de vérifier les calculs, tu as trouvé que le triangle était rectangle en B, tu peux en effet le constater sur le dessin. Et comme ça tu es sûre à 100% d'avoir juste.

Comme ça tu peux gagner beaucoup de temps

[invite585e272b]

Encore merci pour le conseil !

J'y penserais la prochaine fois maintenant que j'ai réussi à comprendre !