Géométrie dans l'espace, Première S

[inviteeb21846b]

Bonjour,

J'aimerais qu'on m'aide pour un exercice de mon DM de maths de première S.

Voici l'énoncé:

ABCD tétraèdre
I milieu de [AB]
J milieu de [AC]
K symétrique de D par rapport à A
L centre de gravité de BCD


1) Exprimer les vecteurs KI, KJ et KL
Comme combinaison linéaire de AB, AC et
AD.
2) Exprimer KL comme combinaison linéaire
De KI et KJ.

3) Que peut on dire des points I, J, K et L ?



La figure est ci-dessous.


Pour la 1, je pensais mettre:
KI = AD + 1/2 AB
KJ = AD + 1/2 AC
KL = 1/3 AB + 4/3 AD + 1/3 AC

Pour la 2)
je bloque.

3)Ensuite je sais que (KL) est coplanaire au plan KIJ et grace à cela, on peut en déduire que les points sont coplanaires mais je ne sais pas comment faire.

Pouvez vous m'aider s'il vous plait.

Merci d'avance,

Juliaa.
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[invitea3eb043e]

Question 1 OK, mais ce serait une bonne idée de respecter l'ordre AB,AC,AD quand tu écris.
Pour le 2, tu peux essayer d'écrire que KL = a. KI + b KJ
En te basant sur les composantes sur AB et AC, il est facile de trouver a et b. Ensuite, il faut vérifier que ça colle aussi pour AD.

[inviteeb21846b]

Daccord pour la 1, merci.

Pour le 2, je propose : KL = 2/3 KI + 2/3 KJ

et ensuite comment je peux montrer que les quatre points sont coplanaires?

Merci d'avance.

[invitee4ef379f]

Bonjour,

Ok pour KL.

On défini un plan par deux vecteurs. Que peut on dire d'un troisième vecteur obtenu par combinaison des deux premiers?

Bon courage!

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteeb21846b]

Bonjour,

Je n'ai pas encore commencé le cours sur les vecteurs alors je ne vois vraiment pas ce que tu veux dire. Désolée, pourrait-tu m'expliquer?

Merci encore.

[invitee4ef379f]

Bonjour,

C'est un résultat qui ne demande pas plus de notions sur les vecteurs que celles qu'on voit au collège, mais qui par contre demande de savoir qu'un plan est défini par trois points non alignés, i.e deux vecteurs non colinéaires.

et ne sont pas colinéaires ici, ils définissent nécessairement un plan.

Que dire d'un troisième vecteur, combinaison linéaire des deux susmensionnés? Que dire des extrémités de tous ces vecteurs?

Bon courage!

[inviteeb21846b]

Bonjour,


Je propose la démonstration suivante:

KI et KJ ne sont pas coplanaires et définissent le plan (KIJ)

et d'après le 2) KL = 2/3 KI + 2/3 KJ

Ainsi, KL est coplanaire au plan (KIJ)

Donc, les points I, J, K, L sont coplanaires.



Merci.

[invitee4ef379f]

Bonjour,

KI et KJ ne sont pas coplanaires et définissent le plan (KIJ)

Colinéaires tu voulais dire, plutôt que coplanaires, non?

Ainsi, KL est coplanaire au plan (KIJ)

Juste une remarque de vocabulaire, on dira que KL est coplanaire à un(des) vecteur(s), ou appartient à un plan, mais on ne dira pas que KL est coplanaire à un plan.

Sinon l'idée est là!!

Bonne continuation.

[inviteeb21846b]

Bonjour ,

Oui, excuse moi, faute de frappe , je voulais bien dire colinéaires.

Je peux écrire que KL est coplanaire aux vecteurs KI et KJ, ce qui me permet de montrer que les trois points I,J,K et L sont coplanaires au plan (KIJ).

La rédaction est-elle bonne?

Merci d'avance.

[invitee4ef379f]

Je peux écrire que KL est coplanaire aux vecteurs KI et KJ, ce qui me permet de montrer que les trois points I,J,K et L sont coplanaires au plan (KIJ).

Pardon je me suis mal exprimé: "coplanaires à un plan" ne se dit pas.

"I,J,K et L sont coplanaires" suffit; cela veut dire qu'ils appartiennent au même plan.

Un rédaction alternative est de dire que I, J, K et L "appartiennent" tous au même plan P.

Sinon c'est un peu beaucoup redondant. C'est comme de dire que les carottes et les patates sont des légumes végétaux .

Bon courage!

[inviteeb21846b]

Bonjour,

Merci de ta réponse.

Je récapitule :

1.

KI = AD + 1/2 AB
KJ = AD + 1/2 AC
KL = 1/3 AB + 4/3 AD + 1/3 AC

2.
KL = 2/3 KI + 2/3 KJ

3.
KL est coplanaire aux vecteurs KI et KJ,
Ainsi, I,J,K et L sont coplanaires.


Manque-t-ils des éléments?

Merci d'avance.

[invitee4ef379f]

Bonjour,

Pour la question 2 j'aurais un peu plus détaillé le calcul.

Pour la question 3, prends la peine de préciser que KL étant une combinaison linéaire des deux vecteurs KI et KJ, alors ces trois vecteurs sont coplanaires.

Sinon cela me paraît bien

Bon courage!