Bonjour,
Je viens de voir la démonstration suivante:
Théorème: exp(x)exp(-x)=1
Démonstration:
Soit g(x)=exp(x)exp(-x)
g'(x)=exp'(x)exp(-x) + exp'(-x)(-1)exp(x)
g'(x)=exp'(x)exp(-x) - exp'(-x)exp(x)
g'(x)=g(x)-g(x)=0
Donc g(x) est une fonction constante et comme g(0)=1 donc
exp(x)exp(-x)=1
Voila ce que je ne comprend pas:
Comment exp'(-x)= -exp'(-x) ? Si c'est le cas alors exp'(-x)=0 pour tout x ce qui est absurde
/Merci
De la même façon que 0=1Envoyé par the0best
Je ne comprend pas..
Pourtant c'est ce qui est écrit:
exp'(-x)=-exp'(-x)
puis après il utilise que exp'(-x)=exp(-x) et donc exp'(-x)=exp(-x)
Comment est ce possible ?
Non, ce n'est pas ce qui est écrit. On a absolument pas exp'(-x)=-exp'(-x), rayez ça de votre mémoire, c'est une absurdité. Comme le dit Texanito, c'est comme dire que 0=1. Lorsque vous dérivez la fonction x-> exp(-x) vous obtenez -exp'(-x). Comme exp=exp' (par définition), la dérivée de x->exp(-x) est x->-exp(-x).
Si vous avez g(x)=u(x)*u(-x) où u est une fonction dérivable quelconque. En dérivant g vous obtiendrez
g'(x)=u'(x)u(x)+u(x)*[-u'(-x)]
qui se réécrit
g'(x)=u'(x)u(x)-u(x)u'(-x)
Si vous êtes d'accord jusqu'ici, vous ne devriez pas avoir de problème. Dans votre cas
g'(x)=exp'(x)exp(-x) - exp'(-x)exp(x), vous l'avez vous même écrit. Comme exp=exp', vous pouvez simplement "enlever" tous les ' et écrire
g'(x)=exp(x)exp(-x) - exp(-x)exp(x)
En enlevant les ' on ne doit pas oublier de faire sortir un facteur -1 du membre de gauche et on aurait alors
Pourquoi tu rajoutes un facteur -1 dans la première ligne !?Démonstration:
Soit g(x)=exp(x)exp(-x)
g'(x)=exp'(x)exp(-x) + exp'(-x)(-1)exp(x)
g'(x)=exp'(x)exp(-x) - exp'(-x)exp(x)
g'(x)=g(x)-g(x)=0
En dérivant correctement tu retrouves que g'(x)=0
Là c'est vous qui confondez Texanito. exp'(-x)=exp(-x). Le ' signifie qu'on dérive la fonction exponentielle et qu'on l'applique en -x. En aucun qu'on dérive la fonction x->exp(-x) dont la dérivée est x->-exp'(-x).
en fait, on pourrait écrire (même si il reste un abus)
(exp(-x))'= -exp'(-x)
et c'est vrai pour toute fonction:
(u(-x))'=-u'(-x)
C'est tout de même dommage d'écrire ça, c'est vraiment un gros abus de langage. C'est confondre la fonction et son expression. Vous aurez peut-être remarquez que je donne toujours les fonctions par "x->...", ce n'est pas pratique pour expliquer, mais ça évite les grosse erreurs comme celle commise par Texanito.
Si on veut utiliser des notations expressionelles le mieux c'est d'écrire
La dernière étape étant donnée par l'égalité exp=exp' qui sert à définir la fonction exponentielle et qui est vrai quelque soit le point en lequel on évalue la fonction.
Euuuuh
Donc
exp'(-x) c'est u'(-x) et pas la dérivée de la composé
c'est exactement le même abusSi on veut utiliser des notations expressionelles le mieux c'est d'écrire
Pas tout à fait. Je considère que l'opérateur ' associe à une fonction sa fonction dérivée. exp est une fonction, mais pas exp(x), c'est pourquoi je considère qu'il y a un problème de typage lorsqu'on écrit (exp(x))'.
Par contre d/dx est un opérateur qui s'applique à des expressions et peut tout à fait s'appliquer à exp(x).
Ainsi si on veut utiliser ' dans une égalité d'expressions il faudrait écrire quelque chose comme (x->exp(-x))'(x)=-(x->exp(x))'(-x)=-exp'(-x)=-exp(-x)
ce qui est cohérent, mais parfaitement illisible.
Peut-être que nous ne parlions pas du même abus, après tout ces notations sont toutes loin d'être parfaites. Je ne serais pas étonné qu'il y ait plusieurs couche d'abus ^^.
Texanito, visiblement vous ne savez pas ce que vous dérivez d'où votre erreur. Lorsqu'on écrit exp'(-x), c'est la dérivée de la fonction exponentielle appliquée en -x et pas la dérivée de la fonction qui a x associe exp(-x).
Ah ok je crois comprendre l'origine de notre incompréhension mutuelle : pour moi
Cependant si on en revient à la question initiale :
g(x)=e(x)e(-x)
g'(x)=[e(x)]'e(-x)+[e(-x)]'e(x)
Il fallait donc plutôt utiliser ma notation
Non, c'est une très mauvaise idée d'utiliser votre notation. Autant en ce qui concerne l'utilisation de l'opérateur ' sur des expressions, il s'agit d'un détail mineur. Je trouve juste dommage d'utiliser la même notation pour différentier une fonction et pour dériver une expression alors que formellement il s'agit d'objets différents.
je n'aime pas tellement écrire (exp(-x))', mais je reconnais que cette notation est cohérente dans le cadre d'expressions d'une seule variable (si je vous écrit (exp(x*y))' vous serez un peu plus embêtés).
Par contre écrire exp'(-x)=(exp(-x))' là c'est faux si vous utilisez des notations cohérentes, même si on s'autorise à utiliser ' pour les dérivées de fonctions et d'expressions.
Vous avez même été jusqu'à écrire e'-x, là aussi vos notations ne peuvent pas avoir de sens. e est un nombre. Qu'est ce que e' est sensé être ?
Oui je reconnais que je n'aurais pas du écrire e'... mauvaise habitude de physicien
c'est bien ça
mais pour moi, d/dx est du même genre
on note
mais du moment où on sait de quoi on parle, c'est ok et je suis d'accord avec vous.
