volume selon Archimède

[invite5c31dad7]

Bonjour à tous,

je bloque sur une question d'un de mes problèmes.

Voici l'énoncé,
On considère :

• Une sphère de rayon
• Un cylindre de rayon et de hauteur
• Un cône de rayon et de hauteur

Il est montrer que :



De plus, il considère un plan perpendiculaire à l'axe
passant par un point M quelconque du segment [AB].
Ce plan coupe le cône en un disque de Rayon MP, la sphère en un disque de rayon MQ et le cylindre en un disque de rayon MR.
Notons I le symétrique de B par rapport à A. Il montre que si le disque* provenant de la sphère et celui provenant du cône sont "accrochés" en I tandis que le disque * provenant du cylindre reste placé en M alors il y a équilibre.

* les disques sont en réalité des cylindres d'épaisseur e ( e infiniment petit )

La question qui me pose problème: Prouver que, démontrer la propriété énoncée ci dessus revient à montrer que

,

et en déduire que :



Merci d'avance pour l'aide


Pièce jointes, représente ce qu'on obtiendrait en coupant le solide par un plan contenant
-----

[JPL]

D'une part la pièce jointe semble corrompue. D'autre part les images doivent être fournies aux formats GIF, PNG ou JPJ. Pas en PDF.
J'ai donc supprimé la pièce jointe.

[Plume d'Oeuf]

Bonjour,

Il faudrait aussi que l'on sache ce que sont A et B et l'axe .

[invite5c31dad7]

D'une part la pièce jointe semble corrompue. D'autre part les images doivent être fournies aux formats GIF, PNG ou JPJ. Pas en PDF.
J'ai donc supprimé la pièce jointe.

nouvelle pièce jointe

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5c31dad7]

Bonjour,

Il faudrait aussi que l'on sache ce que sont A et B et l'axe .

et sont les centres des bases opposées du cylindre . Donc de même et sont les pôles de la sphère , ainsi que est le sommet du cône et le centre de la base de celle-ci.

Et est une droite passant par A et B , désolé si je me fais mal comprendre .

[invite5c31dad7]

L'axe est un considère comme un levier fixé en

[invite5c31dad7]

personne pour m'aider ?

[invite5c31dad7]

aucune piste ?

[Plume d'Oeuf]

Bonjour,

Je crois comprendre où tu veux en venir. L'énoncé est assez peu précis cependant. Il s'agit de calculer des moments de forces.



Considérons les cylindres d'épaisseur e infinitésimale "issus" respectivement de l'intersection du plan perpendiculaire à \Delta passant par M avec le cône, la sphère et le cylindre. Ces trois cylindres ont respectivement des rayons MP et MQ et MR, et donc des volumes respectifs eMP², eMQ² et eMR².



Supposons maintenant que ces trois cylindres aient la même masse volumique .

Les masses respectives de chacun des cylindres de rayon MP, MQ et MR sont donc eMP², eMQ² et eMR².

Les poids respectifs de ces trois cylindres sont donc, dans l'ordre:




Où est le vecteur gravité, orthogonal à .



"Accrochons" maintenant les cylindres issus du cône et de la sphère en I, et supposons que les seules forces agissant sur notre système soient les poids de chacun des trois cylindres. Le système est à l'équilibre donc la somme des moments des trois poids par rapport à A est nulle:



Soit:



Ce qui donne, en remplaçant les poids par leur expression et en passant en normes:




Or est orthogonal à l'axe donc tous les sinus sont égaux à 1.






Ca marche, même si c'est un peu fastidieux. Si quelqu'un a une autre explication, plus rapide...

Bon courage!

[invite5c31dad7]

Bonjour,

Je crois comprendre où tu veux en venir. L'énoncé est assez peu précis cependant. Il s'agit de calculer des moments de forces.



Considérons les cylindres d'épaisseur e infinitésimale "issus" respectivement de l'intersection du plan perpendiculaire à \Delta passant par M avec le cône, la sphère et le cylindre. Ces trois cylindres ont respectivement des rayons MP et MQ et MR, et donc des volumes respectifs eMP², eMQ² et eMR².



Supposons maintenant que ces trois cylindres aient la même masse volumique .

Les masses respectives de chacun des cylindres de rayon MP, MQ et MR sont donc eMP², eMQ² et eMR².

Les poids respectifs de ces trois cylindres sont donc, dans l'ordre:




Où est le vecteur gravité, orthogonal à .



"Accrochons" maintenant les cylindres issus du cône et de la sphère en I, et supposons que les seules forces agissant sur notre système soient les poids de chacun des trois cylindres. Le système est à l'équilibre donc la somme des moments des trois poids par rapport à A est nulle:



Soit:



Ce qui donne, en remplaçant les poids par leur expression et en passant en normes:




Or est orthogonal à l'axe donc tous les sinus sont égaux à 1.






Ca marche, même si c'est un peu fastidieux. Si quelqu'un a une autre explication, plus rapide...

Bon courage!

En effet, cela s'applique entre autres à des forces. Merci à Archimède d'aborder les mathématiques d'une manière quelque peu empirique en s'appuyant parfois sur des démonstrations des lois physiques.

Merci pour le coup de pouce .

[Plume d'Oeuf]

J'ai oublié de mettre des | autour des sinus

[invite5c31dad7]

est ce qu'on peut appliquer le même raisonnement pour montrer que:
?

[invite5c31dad7]

est ce qu'on peut appliquer le même raisonnement pour montrer que:
?

Un bon Pythagore suffit

[Plume d'Oeuf]

Bonjour,

Non, il est marqué dans l'énoncé "en déduire". Cela signifie qu'il faut se servir de ce qui vient d'être montré.

Il y a une manière très simple de faire.

Tu as:
AI(MP²+MQ²) = AM.MR²

Et on te demande d'en déduire que:
MP²+MQ² = AM.MR

Qu'est ce que cela revient à montrer?

[invite5c31dad7]

Bonjour,

Non, il est marqué dans l'énoncé "en déduire". Cela signifie qu'il faut se servir de ce qui vient d'être montré.

Il y a une manière très simple de faire.

Tu as:
AI(MP²+MQ²) = AM.MR²

Et on te demande d'en déduire que:
MP²+MQ² = AM.MR

Qu'est ce que cela revient à montrer?

Que ?

[Plume d'Oeuf]

Voilà.

Comment fais-tu ca?

[invite5c31dad7]

Voilà.

Comment fais-tu ca?

or d'après l'énoncé , et donc

[Plume d'Oeuf]

Bah oualà!

[invite5c31dad7]

Cependant , comment arriver à notre conclusion qui est ?

[Plume d'Oeuf]

Oups pardon j'avais mal lu ta question, je croyais que tu étais sur la seconde question de ton premier message.

Cela me semble à priori difficile d'appliquer le même raisonnement, puisque celui ci tient entièrement dans la notion d'équilibre qui t'est donnée dans l'énoncé.

Je regarde ca.

[invite5c31dad7]

En effet . Je pensait à une corollaire avec les produits scalaires ?
car cela revient à prouver que AQ²=AM.MR

[Plume d'Oeuf]

Bon, il y a moyen par des considérations géométriques.

Pythagore nous donne:
(1) AP² = AM²+MP²
(2) AQ = AM²+MQ²

Par somme, on obtient:
AP²+AQ² =2AM²+MP²+MQ²

Montrer que:
(E) AQ² = MP²+MQ²

Revient donc à montrer que:
AP² = 2AM²

Or (1) nous dit que:
AP² = AM²+MP²

Donc montrer (E) revient à montrer que:
AM = MP

Soit que le triangle AMP est isocèle de base AP. Ceci se montre facilement avec Thalès dans le plan en coupe du cône de rayon 2R et de hauteur 2R.

Au début c'est le fait que ton schéma ne soit pas à l'échelle qui m'a trompouillé

[invite5c31dad7]

Bon, il y a moyen par des considérations géométriques.

Pythagore nous donne:
(1) AP² = AM²+MP²
(2) AQ = AM²+MQ²

Par somme, on obtient:
AP²+AQ² =2AM²+MP²+MQ²

Montrer que:
(E) AQ² = MP²+MQ²

Revient donc à montrer que:
AP² = 2AM²

Or (1) nous dit que:
AP² = AM²+MP²

Donc montrer (E) revient à montrer que:
AM = MP

Soit que le triangle AMP est isocèle de base AP. Ceci se montre facilement avec Thalès dans le plan en coupe du cône de rayon 2R et de hauteur 2R.

Au début c'est le fait que ton schéma ne soit pas à l'échelle qui m'a trompouillé

ah oui, c'est vrai qu'il n'est pas top!
Merci encore, j'avais réussie à mettre en lien AM et MP mais il me manquais la fin.

[Plume d'Oeuf]

ah oui, c'est vrai qu'il n'est pas top!

Si si c'est très bien au contraire! En réalité je me disais: c'est pas possible, on voit bien que AM et MP ne sont pas égales!

C'est seulement au bout de 5 minutes que je me suis rendu compte que nulle part tu n'avais écrit que le schéma était à l'échelle, et qu'il était donc idiot de le supposer

Bonne continuation!