[Terminale S] Partie entière

[invite208036e6]

Bonjour à tous, j'ai un pb de mathématiques à résoudre, j'ai quelques pistes, mais je suis bloqué...
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Enoncé : Pour tout réel x, on appelle partie entière de x et on note E(x) le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x.
On a donc E(x)=n tel que n <ou= x <ou=n+1, avec n élément de Z.

Soit la fonction f définie sur R telle que : f est périodique de 2, et pour tout x de [-1;1] f(x)=1-x²

1) Etudiez f sur [-3 ; 3] et tracer sa courbe sur cet intervalle.
2) En utilisant la fonction partie entière donner une expression de f(x) valable pour tout x réel.
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Pour la 1) pas de problème. C'est pour la 2. J'ai donc, reconstitué la formule à partir de cette expression : n <ou= x <ou=n+1
Ce qui donne 1-(n+1)² <ou= f(x) <ou= 1-n²

Mais après, je ne voie pas ..

Merci de votre aide. Bonne journée !
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[invite5150dbce]

f est périodique de période 2 donc pour tout x appartenant à IR, f(x+2)=f(x)
Il en résulte que pour tout n appartenant à Z, f(x+2n)=f(x)

On cherche l'entier n tel que -1≤x+2n<1 pour tout x appartenant à IR
On a donc 0≤2n+x+1<2
<=>0≤n+(x+1)/2<1
<=>-n≤(x+1)/2<-n+1
Par conséquent -n=E[(x+1)/2]
D'où x+2n=x-2E[(x+1)/2]
Or x+2n appartient à [-1;1] donc f(x+2n)=1-(x+2n)²=1-(x-2E[(x+1)/2])²
Or pour tout n appartenant à Z et pour tout x appartenant à IR, f(x+2n)=f(x) donc pour tout réel x, f(x)=1-(x-2E[(x+1)/2])²

En espérant t'avoir aidé

[invite208036e6]

oui merci ça m'a beaucoup aider

[invite5150dbce]

sinon il y a une autre méthode, on peut choisir -1<2n+x≤1
<=>-1<n+(x+1)/2≤0
<=>-1-n<(x+1)/2≤-n
<=>n≤-(x+1)/2<n+1

On trouve alors f(x)=1-(x+2E[-(x+1)/2])²
Il y a une petite différence avec la première solution dans l'expression mais ces deux solutions sont équivalentes du fait de la parité de la fonction

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite208036e6]

Je préfère ta première méthode Mais merci de me donner celle-ci aussi !