Exercices sur les produits scalaires

[invitefacad8c7]

Bonjour j'aurais besoin d'un petit peu d'aide si c'est possible.
J'ai deux exercices sur les produits scalaires et je bloque sur certaines questions:

Exercice1:

Le cercle C de centre O et de rayon 3 a pour diamètre [AB]. H est le point du segment [AO] défini par AH=2 et d est la droite passant par H est perpendiculaire à (AB). M est un point libre du cercle. La droite d coupe le cercle c en R et S, et la droite (AM) en L.

1) Calculer le produit scalaire vecteurAL . vecteurAB et trouver trois autre produit scalaire qui lui sont égaux.

-> Selon moi vecteurAL . vecteurAB = vecteurAH . vecteurAB
=2×6×cos0
=12

vecteurAL . vecteurAB = vecteurAH . vecteurAB
vecteurAL . vecteurAB = vecteurAL . vecteurAM
vecteurAL . vecteurAB = vecteurAR . vecteurAB

2) Calculer le produit AL×AM

->Si LH = 1 (là est mon problème comment démontrer que LH=1 ?)
On a AL = √5 par Pythagore
Puis par Thales on a AL÷AM = AO ÷ AB
AM= (AL×AB)÷ AO
AM≈4,47

AL× AM ≈ 10

3) Déterminer la longueur AR. (Je bloque sur cette question.)


Exercice 2:

ABCD est un carré de côté a et de centre O. Les points I et J sont les milieux respectifs des segments [AB] et [AC].

1) Calculer les produits scalaires vecteurAI . vecteurAJ et vecteurAO . vecteurCD en fonction de a.

-> vecteurAI . vecteurAJ = vecteurAI . vecteurAB
= (a÷2) × a × cos45

vecteurAO . vecteurCD = vecteurAO . vecteur(-AB)
= (√(a²+a²)÷2) × (-a) × cos45

2)Calculer les distances AJ et AC en fonction de a

-> Par Pythagore:

AC²= AB²+BC²
AC= √(a²+a²)

AJ²=AB² + (BC÷2)²
AJ= √ (a² + (a÷2)²)

3) Montrer que vecteurAJ . vecteurAC = 3a²÷2 et déterminer l'angle JAC (De même je suis bloquer à cette questions)

Merci d'avance de l'aide que vous pourriez m'apporter.
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[ansset]

bonjour,
ça commence mal.

M est un point qcq du cercle, donc il n'y a aucune raison à priori pour qu'il soit sur la droite AB.
ni d'ailleurs pour la 2) que HL vaille 1

[invitefacad8c7]

vecteurAL . vecteurAB = vecteurAL . vecteurAM

Car AM est le projeté de vecteur v sur vecteur u soit de vecteur AB sur vecteur AL ?
J'ai beau retourné le problème dans tout les sens je ne vois pas où est mon erreur.

[ansset]

pardon, j'ai lu trop vite !

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

pour la deux,
tu as trouvé toi même que
vecteurAL . vecteurAB = vecteurAL . vecteurAM

pour la trois:
on peut utiliser plusieurs fois pythagore.
triangle ARH ( et on connait AH )
triangle RHB ( et on connait HB )
triangle ARB , qui permet d'éliminer RH

au final je trouve sqrt(8) soit 2sqrt(2)

encore désolé pour ma première remarque

[ansset]

grrrr !
sqrt(12) soit 2sqrt(3), suis fatigué là !!

[invitefacad8c7]

Pour la deux
vecteurAL . vecteurAB = vecteurAL . vecteurAM
on est d'accord mais un produit scalaire est la même chose qu'un produit ?

Et pour la trois
Ok pour utiliser Pythagore mais le problème et qu'il nous manque des mesures ?

[ansset]

alors là je ne sais pas de quel produit tu parles.
je ne connais que 2 produits pour les vecteurs :
le produit scalaire ou le produit vectoriel.

quand à l'autre question, tu as bien sur les valeurs
AH =2 et AB=2*rayon=6

[invitefacad8c7]

question 2 j'ai résolue mon problème.

question 3 je parle des longueur RH et RB

[ansset]

RH et RB sont à eliminer et tu as au moins trois triangles rectangles
(AHR),(RHB),et (ARB)
donc 3 equations!
je reste un peu si tu coinces encore

[invitefacad8c7]

Ma question peut par être bête mais je vois pas ce que tu entends par éliminer car je suis d'accord avec toi on a :
AR²= AH²+ HR²
RB²= RH²+ HB²
AB²= AR²+ RB²

[invitefacad8c7]

c'est bon j'ai résolue mon problème merci beaucoup !

[ansset]

Ma question peut par être bête mais je vois pas ce que tu entends par éliminer car je suis d'accord avec toi on a :
AR²= AH²+ HR²
RB²= RH²+ HB²
AB²= AR²+ RB²

ben tu as trois equations à trois inconnues ( qu'elles soient au carré pour l'instant on s'en moque )

de AB² = on deduit
AR² = AB² - RB²
en remplaçant RB² de ta deuxième equation
AR² = AB² - ( RH² +HB²)

on se retrouve avec deux equations pour AR² ( ta première et cette dernière )
on les additionne

2AR²=AH²+RH²+AB²-RH²-HB² ( et le RH disparait )
2AR² = AH² + AB² -HB² ( et là on connait tout )

ce n'était que 3 equations à trois inconnues, mais j'ai préféré reprendre tes notations.

[invitefacad8c7]

c'était évident désolé =S