Les fonctions et bornes (DM 1S)

[invite61c708a1]

Bonsoir à tous

J'ai un peu de problème à faire mon DM de math, en effet, je suis bloqué sur des parties de celui-ci.

Énoncé :

Soit la fonction f définie sur ]-oo;2[U]2;+oo[ par f(x) = (x^3-6x²+12x-4)/(x-2)² de courbe représentative C dans un repère orthonormal d'unité graphique 2cm.

1) Déterminer les limites de f aux borner de son ensemble de définition. En déduire d'éventuelle(s) asymptote(s).

2) Montrez que la droite (Delta) d'équation y=x-2 est asymptote oblique à C en +oo et en -oo Étudier aussi les positions relatives de C et (delta).


Voila 2 questions qui me posent problèmes, quand je cherche les bornes, j'ai toujours des formes indéterminés, ce qui m'empêche de finir l'exercice.

Voila je demande de l'aide de votre part
Bonne soirée et merci des réponses s'il y a.
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[invite5150dbce]

en +inf et -inf, tu appliques le théorème de la limite d'une fonction rationnelle après avoir développé le dénominateur

en 2, il n'y a pas d'indétermination

[invite61c708a1]

C'est quoi ce théorème ? Je ne le connais pas.

[invite42155981]

*yes j'ai retenu un truc de mon cours de maths.. grâce à un livre et pas au prof*

Théorème de la fonction rationnelle : une fonction rationnelle est un quotient de polynômes. En général avec une fonction rationnelle tu te retrouves avec des FI (inf/inf) Pour éviter ça, tu mets en facteur les termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

ça te suffit ou il faut un exemple ? =/ (perso j'ai mis du temps à piger)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite61c708a1]

Ha oui je me souviens, mais j'avais essayer et ça ne marchait pas

Quelqu'un pourrait me montrer l'exemple ?

[invite42155981]

Mouarf, je vais tenter.. j'aurais bien essayé ton exercice, mais j'ai la flemme, et je risque de faire une erreur.. alors voilà l'exemple de mon p'tit bouquin d'maths pratique

f(x) = (2x-3)/(x+5)

donc

f(x) = [2x(1-3/(2x))]/[x(1+5/x)]

on peut simplifier les x, ça donne

f(x) = 2*[(1-3/(2x))/(1+5/x)]

Après on calcule les limites.. et cette fois ça ne sera pas FI.




P.S: Si tu sais trouver des réels.. tu pourrais m'aider sur mon post? =/

[invitee4ef379f]

Bonjour,

C'est exactement ça. Maintenant une fois que l'on connaît la méthode "propre", on peut se permettre de gagner du temps en disant que les limites en l'infini d'une fraction rationnelles sont égales aux limites du quotient des termes de plus haut degré.

Dans l'exemple ci dessus:



Cependant il faut prendre garde à savoir démontrer ce résultat avant de l'utiliser.

Bon courage!

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Ou plus simple (en fait, ce n'est pas plus simple, c'est la conséquence directe du théorème cité ci-dessus) :
La limite en ±infini du rapport de deux fonctions polynomiales est la limite du rapport des termes de plus haut degré.

Ex.1 :


Ex.2 :


Ex.3 :


Cela t'aide-t-il ?

Duke.

EDIT : légèrement () grillé...

[invitee4ef379f]

EDIT : légèrement () grillé...

Peut être, mais avec plus d'exemples, ça compense!!

[invite61c708a1]

Oulala c'est complexe mais je vais tenter merci

[invite61c708a1]

Voila j'ai réussi la première question, finalement j'avais juste mal factoriser.


Mais je suis bloqué à la question 2)
j'ai fais la différence mais ça ne marche pas, je n'arrive pas à avoir les points relatifs corrects

Merci

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Il te suffit d'étudier les limites en ±infini de f(x)-y = f(x)-(x-2) (expression à développer). Si la limite est 0, c'est gagné

Duke.

[invitee4ef379f]

De cette manière tu étudies la différence entre f et y, i.e l'écart entre les deux courbes.

Comme l'a dit Duke, si cet écart tend vers 0 quand x tend vers l'infini, cela veut bien dire que les deux courbes se rapprochent: elles sont asymptotes.

Bon courage!

[invite61c708a1]

Bonjour, grâce à votre aide j'ai pu avancer dans le DM, merci

Mais je ne l'ai pas finis, maintenant, il me redemande une question ardue :

"Déterminer l'équation cartésienne de (D) tangente en 0 à C, puis déterminer l'intersection de (D) et de C."

Merci à ceux qui m'aideront car là, je sèche totalement.
Bye

[invitee4ef379f]

Bonjour.

L'équation d'une tangente c'est dans ton cours; il y a une formule pour ca.

Bon courage!

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Ou il y a ce lien aussi...
au cas où tu n'aurais pas ton cours sous la main ou si te ne vois pas de quelle formule parle Plume d'Oeuf...

Duke.

[invitee4ef379f]

Et encore un épine de moins dans le pied!

Je n'avais jamais fait la relation entre l'expression du nombre dérivé et celle de l'équation de la tangente (même s'il manque une petite limite dans l'histoire, mais cela ne va pas nous arrêter, hein).

Bon courage!

[invite61c708a1]

Merci de votre aide à tous j'ai bien avancé dan mon devoir maison, et j'ai mieux compris la dérivée et les formules.

Merci beaucoup