Calcul de limites agaçant ...

[invite2b14cd41]

Salut, je n'arrve pas à calculer la limite en 0 de :
f(x)=1/sin²(x)-1/x²

Je sais que la réponse devrait être 1/3, mais je ne vois pas comment y aboutir (même l'Hospital ne me donne rien)...

Savez-vous comment procéder ?
Cordialement, pol
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[Jeanpaul]

Déjà réduire au même dénominateur et faire un développement limité de x² - sin²(x) sachant que sin(x) = x - x^3/6
On élève au carré en ne gardant que les termes en x² et x^4 et ça roule.

[Jon83]

Bonjour!
Je ne connais pas le niveau de pol92joueur?
Mais les développements limités ne sont pas au programme de TS...
D'où la difficulté du calcul de cette limite!

[silk78]

Je crois que l'on peut le faire le faire grâce à l'Hôpital avec des calculs à la main mais c'est long et moche, et il y a sans doute plus simple ...
Je mets ici ma démarche, mais plus pour demander si ce que j'ai fait est juste que pour donner une solution (d'ailleurs l'Hôpital est-elle enseigné maintenant en T°S parce que moi je ne l'avais pas vu ?) :

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Une utilisation toute simple de l'Hôpital ou tout simplement la définition de la dérivée nous donne la parenthèse de droite tendant vers 2.

Pour celle de gauche, si on pose g(x)=x-sin(x) et h(x)=x²sin(x), on a :
g⁽³⁾(x)=cos(x) et h⁽³⁾(x)=(6-x²)cos(x)-6xsin(x)

Donc en utilisant trois fois l'Hôpital, on obtient pour limite 1/6 (je vous laisse le soin de vérifier que l'on ne peut pas conclure avant la dérivée troisième).

On a donc f(x) qui tend vers 2*1/6 soit 1/3.

[A voir en vidéo sur Futura]

[silk78]

Je suis désolé de faire un double-post mais je voulais supprimer mon premier message pour laisser réfléchir pol avant de donner une solution presque toute faite, malheureusement, je ne peux plus éditer ce message ; donc si un admin ou modo juge qu'il aurait fallu attendre, qu'il le supprime

Bon après, je serais assez étonné qu'on demande ça à un élève de lycée, surtout que moi je n'avais vu ni les DL, ni l'Hôpital en TS ...

[invite2b14cd41]

Merci, silk78, votre solution a l'air tout à fait correcte (bien que difficile)
Non, L'Hospital n'est pas enseigné en TS, et encore moins le développement limité

[hhh86]

Merci, silk78, votre solution a l'air tout à fait correcte (bien que difficile)
Non, L'Hospital n'est pas enseigné en TS, et encore moins le développement limité

non c'est sur mais joli démonstration