Quelques propriétés algébriques et limites

[invite31dc2028]

Bonjour j'ai quelques questions à vous poser concernant des petites questions qui me perturbent..

1/ Quelle est la limite de x.(1/2)^x lorsque x tend vers +infini ?
2/ Quelle est la limite de x/(2^x) lorsque x tend vers - linfini ?

et enfin 3/ je cherche la primitive de xe^x
Je sais que c'est (e^x²)/2 Mais est ce qu'on peut aussi l'écrire sous cette forme x²/2).e^x ???

Car dans une question je dois dire quelle est la primitive de x*exp^x
A/(x-1)*exp^x
B/ x*e^x
C/ (x+1)*exp^x
D/(x²/2)*exp^x

Merci de votre aide
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[pallas]

remplaces (1/2) exposant x par e(xln2) rappel a^x=e^(xlna)
d'ou ta premire limùite vient toute seule !!!
de me^me pourla seconde
pour le troisieme exo derive chacune des fonctions et ...tu dois trouver facilement

[pallas]

faute (1/2)^x = e^(xln(1/2) soit e^(-xln2) ou 1/(e^(xln2) sorry

[invite0b269ea8]

Salut

Pour les 2 limites : utilises les règles de croissance comparée.
En gros, pour un produit ou quotient entre une expression "polynômiale" (x^2, x^3, ... bref tous les x^constante) et une expression "géométrique" (constante^x), c'est le géométrique qui impose le comportement lorsque x -> +infini.
Plus formellement : ici

Avec ceci tu trouves que dans x.(1/2)^x (indéterminé infini*0), c'est le (1/2)^x qui impose le comportement à x -> infini, donc la limite est 0.
Pour x/(2^x), c'est 2^x qui gagne, il tend vers +infini et est au dénominateur, donc limite 0.

Pour les primitives : tout ça se fait par intégration par parties.

(e^x²)/2 c'est pas (x²/2) e^x. Rien à voir : y'a qu'à regarder en x=0, l'un fait 1/2 et l'autre 0...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite31dc2028]

Mercide votre aide, je comprends pour les limites, concernant la primitive, quand on parle d'integration par partie cest pour calculer L'INTEGRALE de x*e^x non, et j'arriverai donc à un resultat qui n'a pas grand chose à voir avec la primitive ?!

[invite31dc2028]

Pour x/(2^x), c'est 2^x qui gagne, il tend vers +infini et est au dénominateur, donc limite 0.

En - l'infini, 2^x tend vers - linfini non ?

[invite0b269ea8]

J'avais pas vu le -infini
Honte à moi

@scemamadan : si par intégration par parties, tu calcules , ça te fait une primitive. Eventuellement tu enlèves la constante pour faire plus propre (ou tu changes la borne "0" de l'intégrale par une autre constante, ça revient au même).

[invite31dc2028]

Ok génial merci !
J'ai une autre petite question ?
Comment tu calcules la primitive de ln(x+1) ?

Moi j'aurais pensé à faire (x+1)*1/(x+1)*ln(x+1)

Ce qui me donne la forme : u'u et donc la primitive devient : [ln(x+1)]²/2
non ?

[hhh86]

Tu peux intégrer ln(x+1) par parties.

Tu poses u(x)=ln(x+1), u est continue est dérivable sur ]-1;+inf[ et u'(x)=1/(x+1) est continue sur ]-1;+inf
v(x)=x+1, v est continue est dérivable sur IR donc sur ]-1;+inf[ et v'(x)=1 est continue sur IR donc sur ]-1;+inf[

Je note I(a;b) l'intégrale de a à b et [f(x)](a;b) la différence f(b)-f(a)
Soient a et b deux éléments de ]-1;+inf[
I(a;b)ln(x+1)dx
=I(a;b)u(x)v'(x)dx
=[u(x)v(x)](a;b)-I(a;b)u'(x)v(x)
=[(x+1)ln(x+1)](a;b)-I(a;b)1
=[(x+1)ln(x+1)](a;b)-[x](a;b)
=[(x+1)ln(x+1)](a;b)-[x+1](a;b)
=[(x+1)(ln(x+1)-1)](a;b)

[invite31dc2028]

Tu peux intégrer ln(x+1) par parties.
=[(x+1)ln(x+1)](a;b)-[x](a;b)
=[(x+1)ln(x+1)](a;b)-[x+1](a;b)

Comment tu passes de [x](a;b) à [x+1](a;b) ?

=[(x+1)ln(x+1)](a;b)-[x+1](a;b)
=[(x+1)(ln(x+1)-1)](a;b)

Comment passes tu de cette ligne à la suivante ?! pourquoi ajoutes-tu un -1 ?! Ou alors (x+1) est en facteur ?!
Merci de ton aide !

[hhh86]

Comment tu passes de [x](a;b) à [x+1](a;b) ?



Comment passes tu de cette ligne à la suivante ?! pourquoi ajoutes-tu un -1 ?! Ou alors (x+1) est en facteur ?!
Merci de ton aide !

1/ Pour tout k appartenant à IR, [F(x)+k](a;b)=F(b)+k-(F(a)+k)=F(b)-F(a)=[F(x)](a;b)

On a aussi
[F(x)+G(x)](a;b)=F(b)+G(b)-(F(a)+G(a))=F(b)-F(a)+G(b)-G(a)=[F(x)](a;b)+[G(x)](a;b)

[invite31dc2028]

Merci pour tout : Il y avait une erreur dans l'énoncé, il manquait une parenthese, c'est ca qui m'a perturbé !
Merci à toi ! A la prochaine

[hhh86]

ok mais désolé pour ce manque de clareté, cela aurait été plus simple si j'aurais écrit en latex

[invite31dc2028]

Pas grave, j'ai tout recopié sur une feuille au fur et à mesure
Comment tu ecris en bon format ?! il existe des sortes de balises ?

[hhh86]

Oui les balises [TEX] mais il faut maitriser le langage de code