Produit scalaire dans l' espace

[invite8290547b]

Bonjour,

Soit A et B deux points distincts de l'espace et M un point quelconque de l'espace.

1)Déterminer l'ensemble P2 des points M de l'espace vérifiant vecteur AM . vecteurAB = - AB²

2)a) Etablir que MA² = MB² équivaut à vect IM . vect AB=0
où I désigne le milieu du segment [AB]

b)Quel résultat sur l'ensemble des points de l'espace équidistants des points A et B retrouve t'on ainsi ?
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[Elie520]

Pour la première question, n'oublie pas que :

[Elie520]

De même pour la seconde question d'ailleurs.

[invite8290547b]

(AM + AB ) . AB =0 (tout en vecteur)
Mais après je vois pas...

[A voir en vidéo sur Futura]

[hhh86]

1/
On suppose que AM.AB=-AB²
<=>AB.(AM+AB)=0
<=>(x_B-x_A)(x+x_B-2x_A)+(y_B-y_A)(y+y_B-2y_A)=0
<=>x(x_B-x_A)+y(y_B-y_A)+(x_B-x_A)(x_B-2x_A)+(y_B-y_A)(y_B-2y_A)=0
<=>M appartient à Δ

Donc P2=Δ


Caractérisons Δ :
AB est un vecteur normal de Δ
Soit C(2x_A-x_B;2y_A-y_B)
Or (2x_A-x_B)(x_B-x_A)+(2y_A-y_B)(y_B-y_A)+(x_B-x_A)(x_B-2x_A)+(y_B-y_A)(y_B-2y_A)=0

Donc C appartient à Δ

On a x_C=2x_A-x_B
<=>x_C-x_A=-(x_B-x_A)
y_C=2y_A-y_B
<=>y_C-y_A=-(y_B-y_A)
Donc C est l'image de B par la symétrie de centre A

Δ est donc la droite perpendiculaire à (AB) passant par C symétrique de B par rapport à A

[hhh86]

Pour la 2/, c'est tout simple, utilises Chasles

[Elie520]

J'ai BEAUCOUP plus simple que hhh86 qui t'a d'ailleurs donné la réponse pour la première question mais quand même.
Notons le symétrique de par rapport à . On a alors : . D'où : par la relation de Chasles. Tu as donc ce qui est la caractérisation du plan médiateur au vecteur passant par .

[Elie520]

Δ est donc la droite perpendiculaire à (AB) passant par C symétrique de B par rapport à A

Je crois que nous sommes dans l'espace.

[hhh86]

J'ai BEAUCOUP plus simple que hhh86 qui t'a d'ailleurs donné la réponse pour la première question mais quand même.
Notons le symétrique de par rapport à . On a alors : . D'où : par la relation de Chasles. Tu as donc ce qui est la caractérisation du plan médiateur au vecteur passant par .

Oui en notant B' le symétrique de B par rapport à A, c'est plus rapide. Néanmoins, je ne l'ai trouvé qu'après avoir développé le produit scalaire. Ensuite tu as fait une erreure.

Certes nous sommes dans l'espace donc au lieu de parler de la droite Δ, j'aurais du parler du plan Δ passant par C et perpendiculaire à (AB).

Mais le plan médiateur d'un vecteur n'existe pas. On parle de plan médiateur pour un segment.

[Elie520]

Ah oui, c'est vrai désolé Mais l'idée y était

[hhh86]

Ah oui, c'est vrai désolé Mais l'idée y était

Oui en effet