Produit scalaire dans l' espace
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Produit scalaire dans l' espace



  1. #1
    invite8290547b

    Produit scalaire dans l' espace


    ------

    Bonjour,

    Soit A et B deux points distincts de l'espace et M un point quelconque de l'espace.

    1)Déterminer l'ensemble P2 des points M de l'espace vérifiant vecteur AM . vecteurAB = - AB²

    2)a) Etablir que MA² = MB² équivaut à vect IM . vect AB=0
    où I désigne le milieu du segment [AB]

    b)Quel résultat sur l'ensemble des points de l'espace équidistants des points A et B retrouve t'on ainsi ?

    -----

  2. #2
    invite029139fa

    Re : Produit scalaire dans l' espace

    Pour la première question, n'oublie pas que :

  3. #3
    invite029139fa

    Re : Produit scalaire dans l' espace

    De même pour la seconde question d'ailleurs.

  4. #4
    invite8290547b

    Re : Produit scalaire dans l' espace

    (AM + AB ) . AB =0 (tout en vecteur)
    Mais après je vois pas...

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite5150dbce

    Re : Produit scalaire dans l' espace

    1/
    On suppose que AM.AB=-AB²
    <=>AB.(AM+AB)=0
    <=>(xB-xA)(x+xB-2xA)+(yB-yA)(y+yB-2yA)=0
    <=>x(xB-xA)+y(yB-yA)+(xB-xA)(xB-2xA)+(yB-yA)(yB-2yA)=0
    <=>M appartient à Δ

    Donc P2=Δ


    Caractérisons Δ :
    AB est un vecteur normal de Δ
    Soit C(2xA-xB;2yA-yB)
    Or (2xA-xB)(xB-xA)+(2yA-yB)(yB-yA)+(xB-xA)(xB-2xA)+(yB-yA)(yB-2yA)=0

    Donc C appartient à Δ

    On a xC=2xA-xB
    <=>xC-xA=-(xB-xA)
    yC=2yA-yB
    <=>yC-yA=-(yB-yA)
    Donc C est l'image de B par la symétrie de centre A

    Δ est donc la droite perpendiculaire à (AB) passant par C symétrique de B par rapport à A

  7. #6
    invite5150dbce

    Re : Produit scalaire dans l' espace

    Pour la 2/, c'est tout simple, utilises Chasles

  8. #7
    invite029139fa

    Re : Produit scalaire dans l' espace

    J'ai BEAUCOUP plus simple que hhh86 qui t'a d'ailleurs donné la réponse pour la première question mais quand même.
    Notons le symétrique de par rapport à . On a alors : . D'où : par la relation de Chasles. Tu as donc ce qui est la caractérisation du plan médiateur au vecteur passant par .

  9. #8
    invite029139fa

    Re : Produit scalaire dans l' espace

    Citation Envoyé par hhh86 Voir le message
    Δ est donc la droite perpendiculaire à (AB) passant par C symétrique de B par rapport à A
    Je crois que nous sommes dans l'espace.

  10. #9
    invite5150dbce

    Re : Produit scalaire dans l' espace

    Citation Envoyé par Elie520 Voir le message
    J'ai BEAUCOUP plus simple que hhh86 qui t'a d'ailleurs donné la réponse pour la première question mais quand même.
    Notons le symétrique de par rapport à . On a alors : . D'où : par la relation de Chasles. Tu as donc ce qui est la caractérisation du plan médiateur au vecteur passant par .
    Oui en notant B' le symétrique de B par rapport à A, c'est plus rapide. Néanmoins, je ne l'ai trouvé qu'après avoir développé le produit scalaire. Ensuite tu as fait une erreure.

    Certes nous sommes dans l'espace donc au lieu de parler de la droite Δ, j'aurais du parler du plan Δ passant par C et perpendiculaire à (AB).

    Mais le plan médiateur d'un vecteur n'existe pas. On parle de plan médiateur pour un segment.

  11. #10
    invite029139fa

    Re : Produit scalaire dans l' espace

    Ah oui, c'est vrai désolé Mais l'idée y était

  12. #11
    invite5150dbce

    Re : Produit scalaire dans l' espace

    Citation Envoyé par Elie520 Voir le message
    Ah oui, c'est vrai désolé Mais l'idée y était
    Oui en effet

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