arithmétique

[invite3eef7911]

Bonjour à tous, pouvez-vous m'aider pour cet exo svp? Merci.

Trouver les couples (a,b) d'entiers naturels dont le PGCD et le PPCM snt les solutions de l'équation: x²-11x+188=0

Pouvez-vous me guider svp? Merci.
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[invite83f03d71]

tu est sûr de ton trinôme car il n'admet pas de solution dans R.
Je trouve un discriminant de -631

[invite3eef7911]

Non, je me suis trompé. mon trinôme est x²-91x+588=0

Pouvez vous m'aider svp?

[invite83f03d71]

c'est bon ça doit marcher j'ai un discriminant de 5929
je cherche et je t'aide

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite83f03d71]

d'abord on cherche les solutions de x²-91x+588=0:
x₁=7 et x₂=84
ensuite on a donc quatres systèmes

et là tu doit pourvoir résoudre ça
si tu n'y arrive pas je t'en ferait un.

[invite83f03d71]

Je résous le premier.
On pose:
D=PGCD(a,b)
M=PPCM(a,b)
tu dois savoir que ab=DM
donc ab=7*7
ab=49
On a:

Il existe des entiers premiers entre eux a' et b' tels que a=Da' et b=Db'
avec D=PGCD(a,b)=7
ab=49 <=> (7a')(7b')=49
ab=49 <=> a'b'=1
Déterminer les couples (a,b) vérifiant le système revient à déterminer les couples (a',b') tels que a'b'=1 avec a' et b' premiers entre eux.
L'ensemble des diviseurs positifs de 1 est {1}.
On obtient:

or a=Da' et b=Db'
Les couples (a,b) d'entiers naturels vérifiant le système sont donc:
(7,7)

et tu fais le même raisonnement pour les autres. (c'est assez long )

[invite3eef7911]

Merci beaucoup.

Peux-tu m'aider pour cet exo aussi stp?

Soit d le PGCD des entiers a et b, et m leur PPCM. Calculer le PGCD de a+b et de m en fonction de d.

[invite83f03d71]

j'avais commencé celui là car c'est un bien meilleur exemple:
2) ab=DM
donc ab=7*84
ab=588
On a:

Il existe des entiers premiers entre eux a' et b' tels que a=Da' et b=Db'
avec D=PGCD(a,b)=7
ab=588 <=> (7a')(7b')=588
ab=588 <=> a'b'=12
Déterminer les couples (a,b) vérifiant le système revient à déterminer les couples (a',b') tels que a'b'=12 avec a' et b' premiers entre eux.
L'ensemble des diviseurs positifs de 12 est {1;2;3;4;6;12}.
Comme 2 et 6 ne sont pas premier entre eux,
On obtient:
ou ou ou
or a=Da' et b=Db'
Les couples (a,b) d'entiers naturels vérifiant le système sont donc:
(7;84),(21;28),(28;21),(84;7)

je réfléchis à ton autre exo en attendant, car les autres systèmes sont plus simples.

[invite83f03d71]

je ne suis pas très sûr cette fois:
d=PGCD(a,b)
donc d divise a et b
alors d divise ab, et a+b (cours)
or ab=dm (cours)
donc d divise m
on en déduit que pgcd(a+b,m)=d

[invite5150dbce]

je ne suis pas très sûr cette fois:
d=PGCD(a,b)
donc d divise a et b
alors d divise ab, et a+b (cours)
or ab=dm (cours)
donc d divise m
on en déduit que pgcd(a+b,m)=d

Pas tout à fait.
Soient a et b deux entiers naturels non nuls
Soit d=PGCD(a;b)
Soit m=PPCM(a;b)
d|a et d|b donc a=a’d et b=b’d avec a’ et b’ premiers entre eux
Comme ab=dm, alors m=a’b’d
D'où PGCD(a+b;m)=dPGCD(a’+b’;a’b’)

Montrons que PGCD(a’+b’;a’b’)=1
Si a'+b' et a'b' n'ont pas de diviseur commun supérieur ou égal à 2, alors comme 1|(a'+b') et 1|(a'b'), PGCD(a’+b’;a’b’)=1
On raisonne par l'absurde et on suppose qu'il existe k≥2 tel que k appartient à D(a’+b’;a’b’).
Il existe donc un nombre premier p et un entier naturel q tel que pq=k
Donc p appartient à D(a’+b’;a’b’)
Donc p|(a'b') ==> p|a' ou p|b'
si p|a' et p|b', alors PGCD(a',b')=p, ce qui est exclu pour PGCD(a',b')=1
si p|a', alors a'+b' est congru b' [p] or p ne divise pas b' donc a'+b' n'est pas divisible par p, ce qui est absurde
si p|b', alors a'+b' est congru a' [p] or p ne divise pas a' donc a'+b' n'est pas divisible par p, ce qui est absurde

Il en résulte que PGCD(a’+b’;a’b’)=1 donc que PGCD(a+b;m)=d

[invite5150dbce]

je ne suis pas très sûr cette fois:
d=PGCD(a,b)
donc d divise a et b
alors d divise ab, et a+b (cours)
or ab=dm (cours)
donc d divise m
on en déduit que pgcd(a+b,m)=d

tu as juste montré d|pgcd(a+b,m)

[invite83f03d71]

ok. bien vu

[invite3eef7911]

j'avais commencé celui là car c'est un bien meilleur exemple:
2) ab=DM
donc ab=7*84
ab=588
On a:

Il existe des entiers premiers entre eux a' et b' tels que a=Da' et b=Db'
avec D=PGCD(a,b)=7
ab=588 <=> (7a')(7b')=588
ab=588 <=> a'b'=12
Déterminer les couples (a,b) vérifiant le système revient à déterminer les couples (a',b') tels que a'b'=12 avec a' et b' premiers entre eux.
L'ensemble des diviseurs positifs de 12 est {1;2;3;4;6;12}.
Comme 2 et 6 ne sont pas premier entre eux,
On obtient:
ou ou ou
or a=Da' et b=Db'
Les couples (a,b) d'entiers naturels vérifiant le système sont donc:
(7;84),(21;28),(28;21),(84;7)

je réfléchis à ton autre exo en attendant, car les autres systèmes sont plus simples.

Pourquoi 2 et 6 ne sont pas premiers?

[invite83f03d71]

Pourquoi 2 et 6 ne sont pas premiers?

Deux nombres et sont premiers entre eux si et seulement si
Or
donc 2 et 6 ne sont pas premiers entre eux
il ne peuvent donc pas vérifier l'équation tel que et soient premiers entre eux.

[invite3eef7911]

Peux-tu m'aider sto pour pgcd (a,b)=84 et ppcm (a,b)=7 car je suis bloquée. Je trouve une fraction pour a'b'.

[invite3eef7911]

Pouvez-vous m'aider svp? Merci.

[invite83f03d71]

c'est normal
donc il existe aucun couple (a,b) tel que