Zéro d'une fonction sinus/cosinus

[invitea51bf61a]

Je suis un peu confu à une certaine étape pour trouver les zéros d'une fonction sinus/cosinus. Voici mon résonnement :

y = 2cos(x+3)-1
----Sous la forme y = asin(b(x-h))+k

Étape 1 : Remplacer y par 0 et transférer k de l'autre côté du =

1 = 2cos(x+3)

Étape 2 : Diviser par 2 chaque côté afin de libérer le cosinus

1/2 = cos(x+3)

Étape 3 : Effectuer cos-1() de chaque côté afin de libérer la variable x

cos-1(1/2) = x + 3


Étape 4 : (C'est ici que je ne suis plus très sûr) Séparer le résultat de cos-1(1/2) en 2 opérations (sa valeur en radiant ainsi que pi - sa valeur en radiant)

pi/3 = x + 3

pi - pi/3 = x+ 3

Étape 5 : Résoudre les 2 équations

x = pi/3 - 3

x = pi - pi/3 - 3

L'étape 4 ne me semble pas normal, peut-être que je me trompe mais si quelqu'un peut donner son avis ce serait très apprécié

Merci
-----

[invite1e1a1a86]

l'étape 3 est déjà illicite (cos n'étant pas une bijection, avec cos-1 (qu'on appele Arccosinus) tu n'as qu'une solution.

il faut pour résoudre ça faire un cercle trigonométrique.
cos(a)=1/2

alors a= ? à un multiple de 2Pi près ou a=?? à un multiple de 2Pi près. (je te laisse trouver les ? et ??)

suite à ça, tu résouds ?+2kPi=x+3 ou k est entier, de même pour ??
et tu obtiens toutes les solutions de ton équation.

Bonne chance

exemple: cos(x+1)=0
sur le cercle trigo on voit qu'il y a deux angles (dans [0,2Pi]) qui vérifie ça: Pi/2 et -Pi/2
Pi/2+kPi=x+1 => x=Pi(1/2+k)-1
-Pi/2+kPi=x+1 => x=Pi(-1/2+k)-1

on a donc toutes les solutions: ....Pi/2-2Pi-1, Pi/2-1, Pi/2+2Pi-1, Pi/2+4Pi-1,.... et ....-Pi/2-2Pi-1, -Pi/2-1, -Pi/2+2Pi-1, -Pi/2+4Pi-1,.... (et dans ce cas on peut simplifier: les solutions sont Pi/2+kPi-1)

[xxxxxxxx]

Je suis un peu confu à une certaine étape pour trouver les zéros d'une fonction sinus/cosinus.

bonjour

pour faire très simple dessine une cercle avec deux axes. l'un vertical, l'autre horizontal passant tous deux par le centre O du cercle.

on pose que le rayon de ton cercle est égal à une unité de mesure (ouf le périmètre de ton cercle sera bien 2 pi R)...

tu mesureras les sinus sur ton axe vertical et tes cosinus sur ton axe horizontal de la maniière suivante :

tu traces ton angle (une demie droite) en partant du point O. la valeur de ton angle "s'appuie" sur le demi-axe horizontal qui donne le sens +1 à ton repère (par habitude on l'oriente vers la droite, ton axe vertical est orienté vers le haut).

en traçant la projection orthogonale du point de concours entre ton cercle et de ta demi droite qui coupe le cercle, tu obtiens la mesure en sinus et cosinus sur chacun des axes (sin et cos).

tu vois alors facilement que si tu as un angle de 0° ton cos seras de 1 mais ta valeur sinus seras de 0.
inversement si tu a un angle de 90° ton sinus seras de 1 et ton cosinus de 0

j'espère avoir été clair et que cette question sera plus facile pour toi.

cordialement

[pallas]

exact traces un cercle trigonométrique ( rayon 1) et place 1/2 en abscisse (axe des cosinus) tu vois que 1/2 correspond à deux series de valeurs pour cos à savoir 1/2=cos ( pi/3 +2kpi) et à tos de trouver la seconde serie d'où la premiere serie de solutions est x +3 = pi/3 +2kpi soit etc . k etant element de Z

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea51bf61a]

Merci beaucoup

J'ai réussi à résoudre mes problèmes! Il semble que je n'allais pas dans la bonne direction.

[invite2bc7eda7]

cos n'étant pas une bijection

on peut définir la bijection de la fonction cosinus restreinte et corestreinte (restriction de l'ensemble d'arrivée).

Il faut définir la fonction cos de la manière suivante :

ainsi cos est strictement décroissante et continue : d'après le théorème de la bijection, cos est bijective de dans et on note arccos sa fonction reciproque...

[invite1e1a1a86]

1) je le sais, je l'ai dis ci dessus, il faut lire les messages cités jusqu'au bout
2) ça ne sers a rien ici puisqu'on cherche ici TOUTES les solutions.

[invite2bc7eda7]

Je ne cherchais pas à résoudre l'éxercice mais à apporter une précision à ce que tu as dit...

excuse moi alors, mais le passage (cos n'étant pas une bijection, avec cos-1 (qu'on appele Arccosinus)" est très ambigu...

ce n'est pas pour autant la peine de mal le prendre...


bonne journée,

Mystérieux1