Factorisation d'une saleté de limite avec des sinus ^^

invite0a363715 · 20/05/2010, 20h42

Bonsoir !

Quelqu'un aurait-il une idée de comment résoudre ceci :

f'(x) = |2 sin(x) -1| quand X = pi/6

Personnellement, je suis partie sur la formule de la définition du nombre dérivé, à savoir f'(x) = lim h->0 (f(x + h) - f(x)) / h

et j'obtiens finalement lim h->0 |2.sin(pi/6 + h) -1| / h, ce qui me donne 0/0. Mais je n'arrive pas à factoriser pour lever l'indétermination...

Y a-t-il une bonne âme qui puisse m'aider ? ^^

invite83f03d71 · 20/05/2010, 21h15

tu veux dériver $\text{[math]}$
puis calculer $\text{[math]}$
c'est bien ça ?

invite0a363715 · 20/05/2010, 21h25

C'est tout à fait ça !

invite83f03d71 · 20/05/2010, 21h29

ok
tu as appris la formule $\text{[math]}$ ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite0a363715 · 20/05/2010, 21h32

Ah, je crains que non...

invitec317278e · 20/05/2010, 21h43

Salut,

pense à envisager 2 cas : d'une part quand on fait tendre h par la droite, d'autre part, quand on fait tendre h vers la gauche. De cette manière, tu connaitras le signe de 2sin(pi/6+h)-1, et tu pourras donc te débarasser de la valeur absolue.

invite0a363715 · 20/05/2010, 21h47

C'est pas trop la valeur absolue qui m'embête, en fait. Le problème, c'est que la limite me donne 0/0, donc, indéterminée. Logiquement, il faut factoriser pour avoir, au numérateur, un facteur h qui permet de simplifier. Mais je ne vois pas du tout comment faire...

invite83f03d71 · 20/05/2010, 21h48

tu est donc obliger de passer par ta fameuse limite
$\text{[math]}$

or $\text{[math]}$

donc $\text{[math]}$

or $\text{[math]}$

donc $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

et la tu fais deux cas comme Thorin te l'as dit.

invite0a363715 · 20/05/2010, 21h53

Oui, mais ça reste indéterminé, puisque ça devient 4/0 quand on calcule la limite, quelque soit le signe de h, puisqu'il n'y a plus de valeur absolue.

Ou alors, c'est moi qui ait rien compris -_-'

invitec317278e · 20/05/2010, 21h55

Envoyé par Azachara

C'est pas trop la valeur absolue qui m'embête, en fait. Le problème, c'est que la limite me donne 0/0, donc, indéterminée. Logiquement, il faut factoriser pour avoir, au numérateur, un facteur h qui permet de simplifier. Mais je ne vois pas du tout comment faire...

si on enlève la valeur absolue, ca donne limite de (2sin(pi/6+h)-1)/h, or, cette limite est la dérivée de la fonction 2sin(x)-1 en pi/6...mais tu sais calculer cette dérivée, donc tu connais la limite.
C'est donc la valeur absolue qui doit t'embêter.

invite83f03d71 · 20/05/2010, 21h55

zut j'ai oublier le -1 et ça fait donc 0/0.
(4/0+ ou 4/0- aurait fait 4*+inf ou 4*-inf donc tu aurais conclu par +inf ou -inf)

invite0a363715 · 20/05/2010, 22h00

D'une certaine manière, oui, puisque je serais passée par les formules de dérivation plutôt que par la limite s'il n'y avait pas de valeur absolue ^^ Mais avant de calculer en 0+ et 0-, il faut d'abord factoriser le numérateur pour que ce ne fasse pas, au final, 0/0... Non ?

invite83f03d71 · 20/05/2010, 22h27

Je la refais car il y a eu plusieurs fautes de ma part: (et je crois avoir trouvé)

$\text{[math]}$

or $\text{[math]}$

donc $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

or $\text{[math]}$
donc $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
et $\text{[math]}$
alors $\text{[math]}$

donc $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ (car $\text{[math]}$ )

or $\text{[math]}$
et $\text{[math]}$

donc $\text{[math]}$

d'où $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

on en déduit que $\text{[math]}$

alors $\text{[math]}$

invite0a363715 · 20/05/2010, 22h34

Y'a de l'idée ^^ Y'a même sacrémement de l'idée !

Enfin, je verrai ça demain, là, j'suis crevée. Merci énormément pour votre aide à tous les deux !

invite83f03d71 · 20/05/2010, 22h36

Cette partie est inutile:

Envoyé par Rémy53

$\text{[math]}$ (car $\text{[math]}$ )

or $\text{[math]}$
et $\text{[math]}$

donc $\text{[math]}$

on peut directement dire que $\text{[math]}$

et donc $\text{[math]}$

invite83f03d71 · 20/05/2010, 22h37

ok. bonne fin de soirée.

**Flyingsquirrel** · 21/05/2010, 11h48

Envoyé par Rémy53

...alors $\text{[math]}$

C'est quelque peu contradictoire avec ce qu'on observe sur le graphe de la fonction...

Nom : graphe_abs(2*sin(x)-1).gif
Affichages : 74
Taille : 9,9 Ko

Envoyé par Azachara

D'une certaine manière, oui, puisque je serais passée par les formules de dérivation plutôt que par la limite s'il n'y avait pas de valeur absolue ^^ Mais avant de calculer en 0+ et 0-, il faut d'abord factoriser le numérateur pour que ce ne fasse pas, au final, 0/0... Non ?

Il vaut mieux d'abord se placer dans le cas $\text{[math]}$ (ou $\text{[math]}$ , peu importe) puis essayer de lever l'indétermination.

invite1e1a1a86 · 21/05/2010, 13h26

j'vais essayer de donner des pistes (ce qui revient a paraphraser Thorin

)

la fonction f(x)=|2sin(x)-1| est défini sur R

1) on travail sur [-7Pi/6,Pi/6], simplifie alors la valeur absolue et calcul la dérivée sur ]-7pi/6,Pi/6[
que vaut la limite de la dérivée en Pi/6 (donc dérivée à gauche)?

2) on travail sur [Pi/6,5Pi/6], simplifie alors la valeur absolue et calcul la dérivée sur ]pi/6,5Pi/6[
que vaut la limitede la dérivée en Pi/6 (donc dérivée à droite)?

3) Ces limites sont elle égales? si oui la fonction est dérivable en Pi/6 (théorème de cours) de dérivée la limite que tu as trouvé
si non, la fonction n'est pas dérivable mais la courbe admet quand même des tangentes à gauche et à droite si les limites existaient bien.

Je pense que les théorèmes utilisées/notions ci dessus ont été vu en terminale (dérivée à gauche/à droite, si les deux sont égales alors la fonction est dérivable) mais je peux me tromper.
Bonne chance.

invite1e1a1a86 · 21/05/2010, 13h36

Envoyé par Rémy53

Je la refais car il y a eu plusieurs fautes de ma part: (et je crois avoir trouvé)

$\text{[math]}$

or $\text{[math]}$

donc $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

or $\text{[math]}$
donc $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
et $\text{[math]}$
alors $\text{[math]}$

donc $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ (car $\text{[math]}$ )

or $\text{[math]}$
et $\text{[math]}$

donc $\text{[math]}$

d'où $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

on en déduit que $\text{[math]}$

alors $\text{[math]}$

Quelques conseils:
1) on écrit pas la limite dès le début car a priori on ne sait pas si elle existe. il vaut mieux écrire tout sans "lim h->0" puis à la fin après toutes les simplifications que tu as fait écrire: "en faisant tendre h vers 0"
bien sur dans les simplifications, on peut se servir du fait que h sera petit, ou faire des disjonctions de cas h>0 et h<0 etc etc

2) beaucoup de ligne en trop, on sait que si sin(Pi/6+h) tend vers 1/2 donc pas la peine de faire une ligne pour multiplier par 2.. enfin là je chipote... de même je comprend pas ton "alors" c'est plus un "or"

3) et l'erreur qui casse tout
3 lignes avant la fin, tu fait tendre h vers 0 dans le cosinus mais pas le 1/h ce qui te permet de faire 1/h-1/h or tu as déjà fait tendre h vers 0! (et donc tu as un infini-infini en fait...)
regarde cet exemple peut etre plus parlant
h-h(1-1/h) en l'infini
si on suit ton exemple 1/h tend vers 0 en l'infini
je simplifie honteusement
j'obtient h-h=0
alors qu'en fait h-h(1-1/h)=h*1/h=1

On ne peut pas (même si c'est tentant...) faire tendre h à un seul endroit à la fois, on arrive toujours (sauf avec chance

) à une bétise.

Mais on apprend de ces erreurs (et on a tous fait celle là...faut juste pas la refaire)

**danyvio** · 21/05/2010, 18h11

Envoyé par Rémy53

tu veux dériver $\text{[math]}$
puis calculer $\text{[math]}$
c'est bien ça ?

L'énoncé initial envoyé par Azachara était (je cite) :

Quelqu'un aurait-il une idée de comment résoudre ceci :

f'(x) = |2 sin(x) -1| quand X = pi/6

Avec mes yeux, je lis f'(x) et non f(x). Il semble dont que l'on ne doive pas dériver, mais au contraire trouver une primitive

invite83f03d71 · 21/05/2010, 18h15

pourquoi ma méthode est mauvaise alors, même si je m'attendait à ce qu'elle ne soit pas dérivable ?

invitee4ef379f · 21/05/2010, 18h17

Bonjour,

Moi de ce que je comprends de l'énoncé, il faut calculer f'( $\text{[math]}$ /6), rien de plus...

invite0a363715 · 21/05/2010, 19h25

Je n'ai pas la moindre idée de ce que peut être une primitive, je confirme donc bien que je cherche la valeur du nombre dérivé de la fonction en pi/6 ^^

Donc, si je résume ce que je crois avoir compris, il suffit de prendre d'abord les deux cas à envisager (valeur absolue positive ou négative) et ensuite de dériver simplement la fonction avec les formules de dérivation ?

invite1e1a1a86 · 21/05/2010, 19h27

Envoyé par Rémy53

pourquoi ma méthode est mauvaise alors, même si je m'attendait à ce qu'elle ne soit pas dérivable ?

j'ai répondu ci-dessus.

Envoyé par Plume d'Oeuf

Bonjour,

Moi de ce que je comprends de l'énoncé, il faut calculer f'( $\text{[math]}$ /6), rien de plus...

l'énoncé à été modifié message2 de Remy et approuvé par Azachara message3.
il y avait "juste" un prime en trop dans l'énoncé je pense...

invite0a363715 · 21/05/2010, 19h30

Ah, je m'étais peut-être mal exprimé, désolée -_-' Pour moi, le prime voulait dire la fonction dérivée. Donc, si je mets (sinx)', je cherche la dérivée de sinx... Ma notation est étrange ?

invite1e1a1a86 · 21/05/2010, 20h10

oui

f(x)=x
que vaut f'?
f'(x)=1

f'(x)=x
que vaut f'?
ben il est écrit ci dessus: il vaut x

autre exemple je veux savoir ce que vaut 2a quand a=2
si j'écris

a=2
que vaut 2a? => 4

mais si j'écris direct 2a=2 ben....

invite0a363715 · 21/05/2010, 20h20

Vu comme ça, c'est vrai que c'est space xD

Envoyé par Azachara

Donc, si je résume ce que je crois avoir compris, il suffit de prendre d'abord les deux cas à envisager (valeur absolue positive ou négative) et ensuite de dériver simplement les deux fonctions avec les formules de dérivation ?

Quelqu'un pourrait-il confirmer ?

invite83f03d71 · 22/05/2010, 10h12

Envoyé par SchliesseB

Quelques conseils:

3) et l'erreur qui casse tout
3 lignes avant la fin, tu fait tendre h vers 0 dans le cosinus mais pas le 1/h ce qui te permet de faire 1/h-1/h or tu as déjà fait tendre h vers 0! (et donc tu as un infini-infini en fait...)
regarde cet exemple peut etre plus parlant
h-h(1-1/h) en l'infini
si on suit ton exemple 1/h tend vers 0 en l'infini
je simplifie honteusement
j'obtient h-h=0
alors qu'en fait h-h(1-1/h)=h*1/h=1

On ne peut pas (même si c'est tentant...) faire tendre h à un seul endroit à la fois, on arrive toujours (sauf avec chance

) à une bétise.

Mais on apprend de ces erreurs (et on a tous fait celle là...faut juste pas la refaire)

ok merci j'avais pas vu. Comment on peut conclure qu'il n'y a pas de nombre dérivé alors ?

invite83f03d71 · 22/05/2010, 10h14

Envoyé par SchliesseB

Quelques conseils:

2) beaucoup de ligne en trop, on sait que si sin(Pi/6+h) tend vers 1/2 donc pas la peine de faire une ligne pour multiplier par 2.. enfin là je chipote... de même je comprend pas ton "alors" c'est plus un "or"

comme $\text{[math]}$
alors $\text{[math]}$
et on peut donc enlever la valeur absolue

invite1e1a1a86 · 22/05/2010, 17h57

j'vois pas en quoi "lim tend vers 0 donc c'est positif"

pour l'exercice je vais m'auto-citer

"j'vais essayer de donner des pistes (ce qui revient a paraphraser Thorin )

la fonction f(x)=|2sin(x)-1| est défini sur R

1) on travail sur [-7Pi/6,Pi/6], simplifie alors la valeur absolue et calcul la dérivée sur ]-7pi/6,Pi/6[
que vaut la limite de la dérivée en Pi/6 (donc dérivée à gauche)?

2) on travail sur [Pi/6,5Pi/6], simplifie alors la valeur absolue et calcul la dérivée sur ]pi/6,5Pi/6[
que vaut la limitede la dérivée en Pi/6 (donc dérivée à droite)?

3) Ces limites sont elle égales? si oui la fonction est dérivable en Pi/6 (théorème de cours) de dérivée la limite que tu as trouvé
si non, la fonction n'est pas dérivable mais la courbe admet quand même des tangentes à gauche et à droite si les limites existaient bien.

Je pense que les théorèmes utilisées/notions ci dessus ont été vu en terminale (dérivée à gauche/à droite, si les deux sont égales alors la fonction est dérivable) mais je peux me tromper.
Bonne chance."

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