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Factorisation d'une saleté de limite avec des sinus ^^



  1. #1
    Azachara

    Factorisation d'une saleté de limite avec des sinus ^^


    ------

    Bonsoir !

    Quelqu'un aurait-il une idée de comment résoudre ceci :

    f'(x) = |2 sin(x) -1| quand X = pi/6

    Personnellement, je suis partie sur la formule de la définition du nombre dérivé, à savoir f'(x) = lim h->0 (f(x + h) - f(x)) / h

    et j'obtiens finalement lim h->0 |2.sin(pi/6 + h) -1| / h, ce qui me donne 0/0. Mais je n'arrive pas à factoriser pour lever l'indétermination...

    Y a-t-il une bonne âme qui puisse m'aider ? ^^

    -----

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  3. #2
    Rémy53

    Re : Factorisation d'une saleté de limite avec des sinus ^^

    tu veux dériver
    puis calculer
    c'est bien ça ?

  4. #3
    Azachara

    Re : Factorisation d'une saleté de limite avec des sinus ^^

    C'est tout à fait ça !

  5. #4
    Rémy53

    Re : Factorisation d'une saleté de limite avec des sinus ^^

    ok
    tu as appris la formule ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Azachara

    Re : Factorisation d'une saleté de limite avec des sinus ^^

    Ah, je crains que non...

  8. #6
    Thorin

    Re : Factorisation d'une saleté de limite avec des sinus ^^

    Salut,

    pense à envisager 2 cas : d'une part quand on fait tendre h par la droite, d'autre part, quand on fait tendre h vers la gauche. De cette manière, tu connaitras le signe de 2sin(pi/6+h)-1, et tu pourras donc te débarasser de la valeur absolue.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

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  10. #7
    Azachara

    Re : Factorisation d'une saleté de limite avec des sinus ^^

    C'est pas trop la valeur absolue qui m'embête, en fait. Le problème, c'est que la limite me donne 0/0, donc, indéterminée. Logiquement, il faut factoriser pour avoir, au numérateur, un facteur h qui permet de simplifier. Mais je ne vois pas du tout comment faire...

  11. #8
    Rémy53

    Re : Factorisation d'une saleté de limite avec des sinus ^^

    tu est donc obliger de passer par ta fameuse limite


    or

    donc

    or

    donc





    et la tu fais deux cas comme Thorin te l'as dit.
    Dernière modification par Rémy53 ; 20/05/2010 à 21h49. Motif: Répétition

  12. #9
    Azachara

    Re : Factorisation d'une saleté de limite avec des sinus ^^

    Oui, mais ça reste indéterminé, puisque ça devient 4/0 quand on calcule la limite, quelque soit le signe de h, puisqu'il n'y a plus de valeur absolue.

    Ou alors, c'est moi qui ait rien compris -_-'

  13. #10
    Thorin

    Re : Factorisation d'une saleté de limite avec des sinus ^^

    Citation Envoyé par Azachara Voir le message
    C'est pas trop la valeur absolue qui m'embête, en fait. Le problème, c'est que la limite me donne 0/0, donc, indéterminée. Logiquement, il faut factoriser pour avoir, au numérateur, un facteur h qui permet de simplifier. Mais je ne vois pas du tout comment faire...
    si on enlève la valeur absolue, ca donne limite de (2sin(pi/6+h)-1)/h, or, cette limite est la dérivée de la fonction 2sin(x)-1 en pi/6...mais tu sais calculer cette dérivée, donc tu connais la limite.
    C'est donc la valeur absolue qui doit t'embêter.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  14. #11
    Rémy53

    Re : Factorisation d'une saleté de limite avec des sinus ^^

    zut j'ai oublier le -1 et ça fait donc 0/0.
    (4/0+ ou 4/0- aurait fait 4*+inf ou 4*-inf donc tu aurais conclu par +inf ou -inf)

  15. #12
    Azachara

    Re : Factorisation d'une saleté de limite avec des sinus ^^

    D'une certaine manière, oui, puisque je serais passée par les formules de dérivation plutôt que par la limite s'il n'y avait pas de valeur absolue ^^ Mais avant de calculer en 0+ et 0-, il faut d'abord factoriser le numérateur pour que ce ne fasse pas, au final, 0/0... Non ?

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  17. #13
    Rémy53

    Re : Factorisation d'une saleté de limite avec des sinus ^^

    Je la refais car il y a eu plusieurs fautes de ma part: (et je crois avoir trouvé)



    or

    donc



    or
    donc

    et
    alors

    donc



    (car )

    or
    et

    donc

    d'où



    on en déduit que

    alors

  18. #14
    Azachara

    Re : Factorisation d'une saleté de limite avec des sinus ^^

    Y'a de l'idée ^^ Y'a même sacrémement de l'idée !

    Enfin, je verrai ça demain, là, j'suis crevée. Merci énormément pour votre aide à tous les deux !

  19. #15
    Rémy53

    Re : Factorisation d'une saleté de limite avec des sinus ^^

    Cette partie est inutile:

    Citation Envoyé par Rémy53 Voir le message

    (car )

    or
    et

    donc
    on peut directement dire que

    et donc

  20. #16
    Rémy53

    Re : Factorisation d'une saleté de limite avec des sinus ^^

    ok. bonne fin de soirée.

  21. #17
    Flyingsquirrel

    Re : Factorisation d'une saleté de limite avec des sinus ^^

    Citation Envoyé par Rémy53 Voir le message
    ...alors
    C'est quelque peu contradictoire avec ce qu'on observe sur le graphe de la fonction...
    Nom : graphe_abs(2*sin(x)-1).gif
Affichages : 20
Taille : 9,9 Ko
    Citation Envoyé par Azachara Voir le message
    D'une certaine manière, oui, puisque je serais passée par les formules de dérivation plutôt que par la limite s'il n'y avait pas de valeur absolue ^^ Mais avant de calculer en 0+ et 0-, il faut d'abord factoriser le numérateur pour que ce ne fasse pas, au final, 0/0... Non ?
    Il vaut mieux d'abord se placer dans le cas (ou , peu importe) puis essayer de lever l'indétermination.

  22. #18
    SchliesseB

    Re : Factorisation d'une saleté de limite avec des sinus ^^

    j'vais essayer de donner des pistes (ce qui revient a paraphraser Thorin )

    la fonction f(x)=|2sin(x)-1| est défini sur R

    1) on travail sur [-7Pi/6,Pi/6], simplifie alors la valeur absolue et calcul la dérivée sur ]-7pi/6,Pi/6[
    que vaut la limite de la dérivée en Pi/6 (donc dérivée à gauche)?

    2) on travail sur [Pi/6,5Pi/6], simplifie alors la valeur absolue et calcul la dérivée sur ]pi/6,5Pi/6[
    que vaut la limitede la dérivée en Pi/6 (donc dérivée à droite)?

    3) Ces limites sont elle égales? si oui la fonction est dérivable en Pi/6 (théorème de cours) de dérivée la limite que tu as trouvé
    si non, la fonction n'est pas dérivable mais la courbe admet quand même des tangentes à gauche et à droite si les limites existaient bien.

    Je pense que les théorèmes utilisées/notions ci dessus ont été vu en terminale (dérivée à gauche/à droite, si les deux sont égales alors la fonction est dérivable) mais je peux me tromper.
    Bonne chance.

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  24. #19
    SchliesseB

    Re : Factorisation d'une saleté de limite avec des sinus ^^

    Citation Envoyé par Rémy53 Voir le message
    Je la refais car il y a eu plusieurs fautes de ma part: (et je crois avoir trouvé)



    or

    donc



    or
    donc

    et
    alors

    donc



    (car )

    or
    et

    donc

    d'où



    on en déduit que

    alors
    Quelques conseils:
    1) on écrit pas la limite dès le début car a priori on ne sait pas si elle existe. il vaut mieux écrire tout sans "lim h->0" puis à la fin après toutes les simplifications que tu as fait écrire: "en faisant tendre h vers 0"
    bien sur dans les simplifications, on peut se servir du fait que h sera petit, ou faire des disjonctions de cas h>0 et h<0 etc etc

    2) beaucoup de ligne en trop, on sait que si sin(Pi/6+h) tend vers 1/2 donc pas la peine de faire une ligne pour multiplier par 2.. enfin là je chipote... de même je comprend pas ton "alors" c'est plus un "or"

    3) et l'erreur qui casse tout
    3 lignes avant la fin, tu fait tendre h vers 0 dans le cosinus mais pas le 1/h ce qui te permet de faire 1/h-1/h or tu as déjà fait tendre h vers 0! (et donc tu as un infini-infini en fait...)
    regarde cet exemple peut etre plus parlant
    h-h(1-1/h) en l'infini
    si on suit ton exemple 1/h tend vers 0 en l'infini
    je simplifie honteusement
    j'obtient h-h=0
    alors qu'en fait h-h(1-1/h)=h*1/h=1

    On ne peut pas (même si c'est tentant...) faire tendre h à un seul endroit à la fois, on arrive toujours (sauf avec chance) à une bétise.

    Mais on apprend de ces erreurs (et on a tous fait celle là...faut juste pas la refaire)

  25. #20
    danyvio

    Re : Factorisation d'une saleté de limite avec des sinus ^^

    Citation Envoyé par Rémy53 Voir le message
    tu veux dériver
    puis calculer
    c'est bien ça ?
    L'énoncé initial envoyé par Azachara était (je cite) :

    Quelqu'un aurait-il une idée de comment résoudre ceci :

    f'(x) = |2 sin(x) -1| quand X = pi/6

    Avec mes yeux, je lis f'(x) et non f(x). Il semble dont que l'on ne doive pas dériver, mais au contraire trouver une primitive
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  26. #21
    Rémy53

    Re : Factorisation d'une saleté de limite avec des sinus ^^

    pourquoi ma méthode est mauvaise alors, même si je m'attendait à ce qu'elle ne soit pas dérivable ?

  27. #22
    Plume d'Oeuf

    Re : Factorisation d'une saleté de limite avec des sinus ^^

    Bonjour,

    Moi de ce que je comprends de l'énoncé, il faut calculer f'(/6), rien de plus...

  28. #23
    Azachara

    Re : Factorisation d'une saleté de limite avec des sinus ^^

    Je n'ai pas la moindre idée de ce que peut être une primitive, je confirme donc bien que je cherche la valeur du nombre dérivé de la fonction en pi/6 ^^

    Donc, si je résume ce que je crois avoir compris, il suffit de prendre d'abord les deux cas à envisager (valeur absolue positive ou négative) et ensuite de dériver simplement la fonction avec les formules de dérivation ?

  29. #24
    SchliesseB

    Re : Factorisation d'une saleté de limite avec des sinus ^^

    Citation Envoyé par Rémy53 Voir le message
    pourquoi ma méthode est mauvaise alors, même si je m'attendait à ce qu'elle ne soit pas dérivable ?
    j'ai répondu ci-dessus.

    Citation Envoyé par Plume d'Oeuf Voir le message
    Bonjour,

    Moi de ce que je comprends de l'énoncé, il faut calculer f'(/6), rien de plus...
    l'énoncé à été modifié message2 de Remy et approuvé par Azachara message3.
    il y avait "juste" un prime en trop dans l'énoncé je pense...

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  31. #25
    Azachara

    Re : Factorisation d'une saleté de limite avec des sinus ^^

    Ah, je m'étais peut-être mal exprimé, désolée -_-' Pour moi, le prime voulait dire la fonction dérivée. Donc, si je mets (sinx)', je cherche la dérivée de sinx... Ma notation est étrange ?

  32. #26
    SchliesseB

    Re : Factorisation d'une saleté de limite avec des sinus ^^

    oui

    f(x)=x
    que vaut f'?
    f'(x)=1

    f'(x)=x
    que vaut f'?
    ben il est écrit ci dessus: il vaut x


    autre exemple je veux savoir ce que vaut 2a quand a=2
    si j'écris

    a=2
    que vaut 2a? => 4

    mais si j'écris direct 2a=2 ben....

  33. #27
    Azachara

    Re : Factorisation d'une saleté de limite avec des sinus ^^

    Vu comme ça, c'est vrai que c'est space xD

    Citation Envoyé par Azachara Voir le message
    Donc, si je résume ce que je crois avoir compris, il suffit de prendre d'abord les deux cas à envisager (valeur absolue positive ou négative) et ensuite de dériver simplement les deux fonctions avec les formules de dérivation ?
    Quelqu'un pourrait-il confirmer ?

  34. #28
    Rémy53

    Re : Factorisation d'une saleté de limite avec des sinus ^^

    Citation Envoyé par SchliesseB Voir le message
    Quelques conseils:

    3) et l'erreur qui casse tout
    3 lignes avant la fin, tu fait tendre h vers 0 dans le cosinus mais pas le 1/h ce qui te permet de faire 1/h-1/h or tu as déjà fait tendre h vers 0! (et donc tu as un infini-infini en fait...)
    regarde cet exemple peut etre plus parlant
    h-h(1-1/h) en l'infini
    si on suit ton exemple 1/h tend vers 0 en l'infini
    je simplifie honteusement
    j'obtient h-h=0
    alors qu'en fait h-h(1-1/h)=h*1/h=1

    On ne peut pas (même si c'est tentant...) faire tendre h à un seul endroit à la fois, on arrive toujours (sauf avec chance) à une bétise.

    Mais on apprend de ces erreurs (et on a tous fait celle là...faut juste pas la refaire)
    ok merci j'avais pas vu. Comment on peut conclure qu'il n'y a pas de nombre dérivé alors ?

  35. #29
    Rémy53

    Re : Factorisation d'une saleté de limite avec des sinus ^^

    Citation Envoyé par SchliesseB Voir le message
    Quelques conseils:

    2) beaucoup de ligne en trop, on sait que si sin(Pi/6+h) tend vers 1/2 donc pas la peine de faire une ligne pour multiplier par 2.. enfin là je chipote... de même je comprend pas ton "alors" c'est plus un "or"
    comme
    alors
    et on peut donc enlever la valeur absolue

  36. #30
    SchliesseB

    Re : Factorisation d'une saleté de limite avec des sinus ^^

    j'vois pas en quoi "lim tend vers 0 donc c'est positif"

    pour l'exercice je vais m'auto-citer

    "j'vais essayer de donner des pistes (ce qui revient a paraphraser Thorin )

    la fonction f(x)=|2sin(x)-1| est défini sur R

    1) on travail sur [-7Pi/6,Pi/6], simplifie alors la valeur absolue et calcul la dérivée sur ]-7pi/6,Pi/6[
    que vaut la limite de la dérivée en Pi/6 (donc dérivée à gauche)?

    2) on travail sur [Pi/6,5Pi/6], simplifie alors la valeur absolue et calcul la dérivée sur ]pi/6,5Pi/6[
    que vaut la limitede la dérivée en Pi/6 (donc dérivée à droite)?

    3) Ces limites sont elle égales? si oui la fonction est dérivable en Pi/6 (théorème de cours) de dérivée la limite que tu as trouvé
    si non, la fonction n'est pas dérivable mais la courbe admet quand même des tangentes à gauche et à droite si les limites existaient bien.

    Je pense que les théorèmes utilisées/notions ci dessus ont été vu en terminale (dérivée à gauche/à droite, si les deux sont égales alors la fonction est dérivable) mais je peux me tromper.
    Bonne chance."

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