Aide pour dm sur les suites

[invite30a3e7e4]

Bonjour, j'ai un dm (pour demain bien sur, c'est pas drôle sinon) de maths sur les suites, et je coince sur certaines questions.

Voilà l'énoncé:

Soit (u_n) définie par
u₁ = 1/3
u_n+1 = (n+1/5n)u_n

1. Calculer u2, u3, u4, u5 (ça c'est fait)
2. Montrer que pour tout entier naturel non nul, on a 0 inférieur ou égal à u_n+1 inférieur ou égal à u_n. En déduire que la suite u_n converge
3. Montrer que la suite de terme général v_n = u_n / n (n> 0) est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme v₁ et la raison
4. En déduire l'expression de v_n en fonction de n puis celle de u_n
5. Calculer les commes S = v₁ ... + v₁₀ et S' = u₁ ... + u₁₀

Merci d'avance pour votre aide
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[hhh86]

Pour montrer que les termes de la suite sont toujours positifs, tu peux faire une petite démonstration par récurrence

Pour montrer la décroissance de la suite, tu calcules U(n+1)-U(n) et tu dois pouvoir conclure

La convergence résulte de la décroissance et de la minoration de la suite

[hhh86]

La 3 est évidente, calcules V(n+1) en fonction de V(n)
Tu dois tomber sur une raison de 1/5

[hhh86]

4/La première partie, tu appliques le cours
La deuxième partie, tu parts de Vn=(Un)/n et de l'expression de V(n) en fonction de n

[A voir en vidéo sur Futura]

[hhh86]

Enfin, tu dois connaitre la formule de la somme des termes d'une suite géométrique

En revanche pour S', il faut être un peu plus astucieux je te l'accorde

[invite30a3e7e4]

Merci pour tes réponses rapides, je devrais pouvoir me débrouiller maintenant.

Pour la dernière il ne faut pas partir de u_n mais de son expression en fonction de n c'est ça?

ps: et pourrais tu aussi m'indiquer comment démontrer par récurrence? Mon prof de math est assez moyen, et avec le chaos qu'il y a en cours, ceux-ci sont un peu brouillons... Le plus étonnant c'est que d'habitude je suis plutôt bon en maths

[hhh86]

Montrons par récurrence que pour tout n appartenant à IN*, Un>0 :

Initialisation :
U1=1/3>0
Donc la propriété est vraie au rang 1

Caractère héréditaire :
On suppose que Uk>0 pour un certain k appartenant à IN*
On a alors U(k+1)= (k+1/5k)(Uk)
Or k+1>0, 5k>0 et Uk>0 d'après l'hypothèse de récurrence
Donc U(k+1)>0
La propriété est vraie au rang k+1

Conclusion pour tout n appartenant à IN*, Un>0

[hhh86]

Pour S', je te donne une idée :
On a Un=nVn
Il suffit de remarquer que la somme V1+2V2+3V3+...+nVn=(V1+V2+V3+. ..+Vn)+(V2+V3+...+Vn)+(V3+...+ Vn)+...+Vn

[hhh86]

Pour l'expression de la suite (S'n), je trouve :
S'n=[25-5(4n+5)[(1/5)ⁿ]]/48

Donc S'10=610351/1171875

Tu ne pourras pas simplifier l'expression car PGCD(610351;1171875)=1

[hhh86]

On peut d'ailleur montrer que la limite de la suite S'n est 25/48

[invite30a3e7e4]

Euh... pour être honnête, j'ai pas compris la moitié de tes reps

Je suis qu'en première hein

[hhh86]

Si tu veux une démonstration simple de cette limite, la voici :

S'n=[25-5(4n+5)[(1/5)ⁿ]]/48 pour tout n appartenant à IN*

Comme -1<1/5<1, alors lim(1/5)ⁿ=0
Donc lim5(1/5)ⁿ=0

Pour tout n appartenant à IN*, on a :
n/5ⁿ
=e^ln(n)-nln(5)
=e^{n(ln(n)/n-ln(5))}
Or lim(ln(n)/n)=0 donc lim(ln(n)/n-ln(5))=-ln(5)<0 puisque ln(5)>0 puisque 5>1
Donc comme lim(n)=+inf, alors d'après les règles opératoires sur les limites, lim[n(ln(n)/n-ln(5))]=-inf
Or lim(x-->-inf)(e^x)=0 donc d'après le théorème de la limite d'une fonction composée et d'une suite, lim(e^{n(ln(n)/n-ln(5))})=0
Donc d'après les règles opératoires sur les limites, lim(S'n)=25/48

[hhh86]

Euh... pour être honnête, j'ai pas compris la moitié de tes reps

Je suis qu'en première hein

ah mince, je suis désolé bvah votre prof y va un peu fort alors, la récurrence est au programme de terminale

[hhh86]

Je vais te scanner ma feuille de réponse, tu me diras si tu comprends un peu mieux

[hhh86]

désolé pôur le retard, j'avais d'autres choses à faire

Les fichiers ont été scanné à l'envers, tu peux les imprimer pour les lire

[invite30a3e7e4]

En fait je suis quasi-certain qu'il veut nous faire appliquer une méthode vue dans un exercice... Mais laquelle? Par contre, je suis sûr que l'on n'a pas vu la démonstration par récurrence.

[hhh86]

pourtant votre prof fait du hors programme, le fait qu'une suite décroissante minorée soit convergente est au programme de TS

[invite19431173]

Salut !

J'ai supprimé tes pièces jointes. Merci de les reposter au format jpg et dans le bon sens.

Pour la modération.

[hhh86]

bon tant pis ce n'est pas pour moi et en plus Dragosh est en première et n'a pas vu le raisonnement par récurrence. Par conséquent comme j'avais supprimé ces fichiers de mon ordinateur, je ne les roposterais pas.
Merci de votre compréhension
Désolé Dragosh, cela aurait peut-être pu t'intéresser
Bonsoir

[invite30a3e7e4]

Bizarre... Ba, au pire, j'ai un copain qui apparament l'a réussit... Comme le cours de math est le dernier de la journée, j'aurai le temps de lui demander de l'aide.

Et encore plus au pire, je demande au prof de m'aider à faire le dm et je me débrouille pour le rendre après-demain... Oui, mon prof a si peu d'autorité que ça

Edit : j'avais pas vu le dernier message
Tant pis c'est pas grave. Merci quand même

[hhh86]

bonne continuation alors