Montrer l'inégalité x²+x+1>0
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Montrer l'inégalité x²+x+1>0



  1. #1
    invite7026f336

    Question Montrer l'inégalité x²+x+1>0


    ------

    Svp Svp Svp aidez moiii !!
    montrez que x²+x+1>0
    je vous remercie d'avance ! Ps: c urgent

    -----

  2. #2
    invite40f3dc8a

    Re : Seconde : Exercice d'Olympiades

    Citation Envoyé par mallak Voir le message
    Svp Svp Svp aidez moiii !!
    montrez que x²+x+1>0
    je vous remercie d'avance ! Ps: c urgent
    montrez que x²+x+1>0 ?

    astuce : quand on trouve une expression mathématique qui contient les x² on doit toujours penser aux identités remarquables.
    x²+x+1 = x² + 2*(1/2)x + (1/2)² - (1/2)² + 1 ( sous forme de a²+2ab+b² qui est égale à (a+b)²) ( dans cet exemple 1/2=b et a = x donc (a+b)² = (x+(1/2))²
    x²+x+1 = (x+(1/2))² + 1 - (1/2)²
    = (x+(1/2))² + 4/4 - 1/4
    = (x+(1/2))² + 3/4
    du dérnier resultat on a : (x+(1/2))² est positif ( un caré est toujours positif)
    3/4 est aussi positif
    si (x+(1/2))² et 3/4 sont positifs donc leurs somme est ( strictement ) positive (la présence de 3/4) c-à-d que même si x = -1/2 donc x+1/2 = 0 le terme redeviens 0+3/4 qui est trictement positif
    conclusion : (x+(1/2))² + 3/4 = x²+x+1 et x²+x+1>0
    Salam

  3. #3
    invite6765c17f

    Re : Seconde : Exercice d'Olympiades

    Citation Envoyé par mallak Voir le message
    Svp Svp Svp aidez moiii !!
    montrez que x²+x+1>0
    je vous remercie d'avance ! Ps: c urgent
    x²supérieure ou egal à x
    donc :x²+x supérieure ou egal à 0
    et on a :1 >0
    alors:x²+x+1>0
    Dernière modification par Flyingsquirrel ; 30/05/2010 à 12h13. Motif: Ajout des balises [quote][/quote], désactivation des smileys

  4. #4
    Flyingsquirrel

    Re : Seconde : Exercice d'Olympiades

    Citation Envoyé par -kenza- Voir le message
    x²supérieure ou egal à x
    Non : .
    Citation Envoyé par -kenza- Voir le message
    donc :x²+x supérieure ou egal à 0
    Non plus. On a mais

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite5150dbce

    Re : Seconde : Exercice d'Olympiades

    La solution de Mahmoud est la meilleure

    Sinon tu peux démontrer ça d'une autre manière que je ne te conseille pas :
    Pour tout réel x≥0, on a x²+x+1>0
    Pour tout réel x<0, on a 2x<x
    Donc pour tout réel x<0, x²+x+1>x²+2x+1
    <=> x²+x+1>(x+1)² pour tout réel x<0
    Donc x²+x+1>0 pour tout réel x<0
    Il en résulte que pour tout réel x x²+x+1>0

  7. #6
    invité576543
    Invité

    Re : Montrer l'inégalité x²+x+1>0

    Une variante de la solution de Mahmoud est de partir de

    x²+x+1 = 1/2 (x² + 2x + 1 + x² + 1)

  8. #7
    invite5150dbce

    Re : Montrer l'inégalité x²+x+1>0

    Sinon après on peut toujours étudier les variations de la fonction et en déduire son signe en déterminant sa dérivée.

    Une autre méthode est de remarquer que pour tout x appartenant à IR, x³-1=(x-1)(x²+x+1)
    Donc pour tout x appartenant à IR\{1}, x²+x+1=(x³-1)/(x-1)
    Etudions le signe de x³-1 sur IR\{1}
    x|-->x³ est strictement croissante sur IR et 1³=1
    Donc pour tout x appartenant à ]-inf;1[, x³<1 <=> x³-1<0
    Pour tout x appartenant à ]1;+inf[, x³>1 <=>x³-1>0
    Dressons alors le tableau de signe de (x³-1)/(x-1) sur IR\{1}
    (Impossible de dresser un tableau ici mais on en déduit facilement que pour tout x appartenant à IR\{1}, (x³-1)/(x-1)>0)
    Or pour x=1, x²+x+1=1²+1+1>0
    Il en résulte que pour tout x appartenant à IR, x²+x+1>0

  9. #8
    invite6765c17f

    Smile Re : Montrer l'inégalité x²+x+1>0

    ben j ai un autre raisonnement :
    x²+x+1>0
    ON peut MONTRER L INEGALITé SUIVANTE :4(x²+x+1)>0 fois 4 pour deduire l'inégalité x²+x+1>0
    (2x)²+4x+4=(2x+1)²+3
    puisque (2x+1)²>0
    ET 3>0
    ALORS (2x+1)²+3>0
    DONC (2x)²+4x+4>0
    ON DÉDUIT QUE x²+x+1>0

  10. #9
    Elie520

    Re : Montrer l'inégalité x²+x+1>0

    Ben c'est exactement la même que la première réponse, mais en multiplié par 4...
    Quod erat demonstrandum.

  11. #10
    invite569195aa

    Re : Montrer l'inégalité x²+x+1>0

    Soit y = x2+x+1 et voyons là comme une courbe y = f(x)

    C'est une parabole.
    - Quand x => + infini, y => + infini
    - Quand x => - infini, y => + infini
    y passe par un minimum quand sa dérivé s'annule.

    La dérivé de y : yp = 2x+1
    quand la dérivé s'annule, yp = 0. A ce point : 2x+1 = 0, donc x = -1/2

    Pour x = -1/2, y = +3/4
    On voit que y varie entre + infini et +3/4 et donc y est toujours positif.

    Voilà.

  12. #11
    Tianju

    Re : Montrer l'inégalité x²+x+1>0

    Bonjour,

    x2+x+1>0

    x2+x+1
    =x2+x+(1/4+3/4)
    =(x2+x+1/4)+3/4

    Factoriser
    =(x+1/2)2+3/4
    ______________________________ ____
    (x+1/2)2>0 et 3/4>0

    donc: (x+1/2)2+3/4>0

  13. #12
    invite1db95efe

    Re : Montrer l'inégalité x²+x+1>0

    Bonjour.
    Au risque de paraitre idiot :
    Trinôme de second degré...

    Calcul du discriminant

    Le signe est constant et est celui de 1>0

    Mais mettre sous forme canonique c'est plus beau

  14. #13
    invite2bc7eda7

    Re : Seconde : Exercice d'Olympiades

    Citation Envoyé par -kenza- Voir le message
    x²supérieure ou egal à x
    faut si |x|<1 ... il suffit de tracer les deux courbes...

  15. #14
    invite5150dbce

    Re : Seconde : Exercice d'Olympiades

    Citation Envoyé par Mysterieux1 Voir le message
    faut si |x|<1 ... il suffit de tracer les deux courbes...
    Cette erreur a déjà été relevée par Flyingsquirrel par le biais d'un contre exemple

  16. #15
    invite74a5d209

    Re : Montrer l'inégalité x²+x+1>0

    Bonjour à tous,
    Moi j'ai trouvé différemment. Donc

    x²+x+1>0
    x²>=0
    x²>x sur ]-00;0[ et ]1;+00[ j'ai pas trouvé la touche infini donc 00 c'est l'infinie!
    Ce qui implique ici que 1>x sur [0;1[
    Mais comme 1>0
    Alors x²+x+1>0 sur ]-00;+00[

    J'espère que je suis compréhensible pour moi ça me parait logique.

  17. #16
    invite621f0bb4

    Re : Montrer l'inégalité x²+x+1>0

    Citation Envoyé par Hemingway Voir le message
    Bonjour.
    Au risque de paraitre idiot :
    Trinôme de second degré...

    Calcul du discriminant

    Le signe est constant et est celui de 1>0

    Mais mettre sous forme canonique c'est plus beau
    Ouais, moi c'est la première méthode qui m'est venue à l'esprit ^^

  18. #17
    PlaneteF

    Re : Montrer l'inégalité x²+x+1>0

    Citation Envoyé par Biggyboo Voir le message
    Bonjour à tous,
    Moi j'ai trouvé différemment. Donc

    x²+x+1>0
    x²>=0
    x²>x sur ]-00;0[ et ]1;+00[ j'ai pas trouvé la touche infini donc 00 c'est l'infinie!
    Ce qui implique ici que 1>x sur [0;1[
    Mais comme 1>0
    Alors x²+x+1>0 sur ]-00;+00[

    J'espère que je suis compréhensible pour moi ça me parait logique.
    Bonsoir,

    Il n'y a pas la moindre logique dans ce que tu viens d'écrire, ... présenté comme tu viens de le faire, tu ne démontres absolument rien :

    Quel est le rapport entre le résultat final, et le fait que x2>x sur ]-oo ; 0[ U ]1 , +oo[ et que 1>x sur [0 ; 1[
    Dernière modification par PlaneteF ; 24/10/2012 à 20h35.

  19. #18
    invite74a5d209

    Re : Montrer l'inégalité x²+x+1>0

    Bonjour,

    Bah en faite pour moi, ça paraissait logique mais je pourrais surement l'expliquer plus simplement.
    J'avoue que le 1>x n'a pas d’intérêt puisque ici sur l'intervalle ]0;1], x est positif. Donc tout les termes sont positifs.

    Je crois que je me complique en faite.

    Au risque de paraître idiot.
    Est ce qu'on peut faire le calcul du discriminant (Δ<0) donc x²+x+1 est du signe de a donc >0?

  20. #19
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Montrer l'inégalité x²+x+1>0

    Et si tu lisais les messages précédents ? La réponse y est !

  21. #20
    PlaneteF

    Re : Montrer l'inégalité x²+x+1>0

    Citation Envoyé par Biggyboo Voir le message
    Bah en faite pour moi, ça paraissait logique mais je pourrais surement l'expliquer plus simplement.
    J'avoue que le 1>x n'a pas d’intérêt puisque ici sur l'intervalle ]0;1], x est positif. Donc tout les termes sont positifs.

    Je crois que je me complique en faite.
    Tu peux faire une démonstration en raisonnant sur différents intervalles comme tu as essayé de le faire, mais il faut faire
    cela de manière rigoureuse et non pas à coup de "pour moi ça me parait logique" (sic).

    On peut déjà remarquer que :

    Or sur , , et par conséquent, sur cet intervalle, compte tenu de la relation précédente, on a bien :

    Maintenant il faut envisager le cas où ... je te laisse finir ...
    Dernière modification par PlaneteF ; 25/10/2012 à 16h54.

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