Les coniques : la parabole

[invite1f1baf6a]

Bonjour, je suis en train de réviser mon cours de math, les coniques.
Après avoir compris sans aucune difficultés l'éllipse et l'hyperbole, je suis arrivée à la parabole.
Problème : je ne comprends pas, même les exercices les plus simples, à partir du moment ou le centre n'est pas en (0;0). C'est sans doute un ptit truc, mais je ne trouve pas ce petit truc... Par exemple, j'ai l'exercice 3 :
Donner l'équation de la parabole de sommets (5;-2) et foyer (5;-5)
Sur ma feuille, j'avais écris :
p/2 = 3 => p=6
Seulement, je ne sais absolument pas d'où sort le trois... un différence entre les coordonnées ?
Ensuite, on trouve :
(x-5)²= -2.6.(y+2)

Quelqu'un pourrait m'expliquer s'il vous plaît ?
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[invitea3eb043e]

Cela rejoint une discussion récente sur ce forum.
La parabole est l'ensemble des points équidistants d'un point (le foyer) et d'une droite (la directrice). La distance entre le foyer et la directrice s'appelle le paramètre de la parabole.
Un point particulier est à mi-chemin entre la directrice et le foyer, c'est le sommet.
Pour faire simple, on dit que le foyer est au point (0 ; p/2) et que la directrice est la droite y = -p/2. L'origine O sera donc le sommet.
On écrit alors assez facilement que (y+p/2)² = (y-p/2)² + x² donc y = x²/2p

Dans ton cas, il faut décaler les axes pour ramener le sommet en O, ce qui peut se faire en posant :
X = x - 5
Y = y - (-2)
et on trouve alors que Y = X²/2p où le paramètre vaut -6 car la parabole est à l'envers (pointe vers le haut). |p| est le double de la distance entre le foyer et le sommet.

[invite1f1baf6a]

ok, donc on prend la valeur en ordonnée de chacune des donnée ce qui donne -5 -(-2) = -3 et puis on multiplie par 2 ?
on va me prendre pour une débile, mais je bloque souvent sur des ptits trucs, alors que je sais faire sans problèmes les tangentes -__-
merci de votre aide

[inviteb9469e86]

sommet S (5;-2) et foyer F(5;-5)
Le sommet et le foyer sont sur la droite d'équation x = 5 donc la directrice est une droite perpendiculaire d'équation y = a
Soit H la projection du foyer sur la directrice, H a pour coordonnées (5 ; a)
Le sommet est le milieu de FH donc FH = 2 FS
FS = 3 (différence des ordonnées) donc FH = 6 d'où ton paramètre p = 6
donc la directrice a pour équation y = 1

Tout point M (x ; y) de la parabole est à égale distance du foyer et de la directrice
donc MF² = MM'² où M' est la projection orthogonale de M sur la directrice
donc M'(x ;1) MM'² = (y - 1)²
MF² = (x - 5)² + (y + 5)
tu égales et développes (x - 5)² + y² + 10 y + 25 = y² - 2 y + 1
(x - 5)² = - 12 y - 24


Ce que tu aurais pu faire avec un changement de repère repère (S , i , j) de façon à te ramener à un cas connu

[A voir en vidéo sur Futura]