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Fonction exeponentielle



  1. #1
    Lelouch

    Fonction exeponentielle


    ------

    Bonsoir,

    Je viens de démontrer que par recurrence sur N puis j'ai réussi a l’étendre sur Z mais je n'arrive pas a étendre cette propriété sur R. Comment faire ?

    Merci

    -----
    Lelouch

  2. #2
    SchliesseB

    Re : Fonction exeponentielle

    etend sur Q
    puis sur R par continuté de exp et densité de Q dans R

  3. #3
    silk78

    Re : Fonction exeponentielle

    Je ne suis plus trop sur mais il me semble qu'on définit ax avec x réel en utilisant l'exponentielle : exp(x*ln(a)).
    Il me semble donc que prouver que exp(x)=ex pour x réel est absurde.
    En fait c'est plutôt le contraire : comme on observe cette propriété pour x naturel, on définit ex comme étant l'exponentielle, et donc ensuite ax grâce à l'exponentielle.

    My two cents,
    Silk

  4. #4
    danyvio

    Re : Fonction exeponentielle

    Citation Envoyé par Lelouch Voir le message
    Bonsoir,

    Je viens de démontrer que par recurrence sur N puis j'ai réussi a l’étendre sur Z mais je n'arrive pas a étendre cette propriété sur R. Comment faire ?

    Merci
    Je ne comprends pas trop la question : et

    signifient bien la même chose ?
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    silk78

    Re : Fonction exeponentielle

    Oui ... mais c'est une propriété et non une définition.

    La définition exacte de l'exponentielle est l'unique fonction qui est sa propre dérivée et qui vaut 1 en 0.

    Ensuite à partir de cette définition, on va prouver que exp(a+b)=exp(a)exp(b). En utilisant cette propriété on prouve assez facilement par récurrence que exp(n)=en pour n entier.

    Mais au "départ", on n'a pas exp(x)=ex.

  7. #6
    SchliesseB

    Re : Fonction exeponentielle

    arf' je dis n'importe quoi pour étendre à R puisque oui, par definition, a^x=exp(x ln(a)) pour x réel.

    mais tu peux étendre à Q (les racines n-ieme ne sont pas définit par l'exponentielle).

  8. #7
    Plume d'Oeuf

    Re : Fonction exeponentielle

    Bonjour,

    Citation Envoyé par silk78 Voir le message
    La définition exacte de l'exponentielle est l'unique fonction qui est sa propre dérivée et qui vaut 1 en 0.
    Je ne suis pas tout à fait d'accord. Il existe plusieurs définitions des fonctions exponentielles, entre autre celle que tu as citée. Mais on peut aussi appeler exponentielle de base a la fonction qui transforme un produit en somme et dont la valeur en 1 vaut a, i.e la fonction f définie sur R telle que f(u+v) = f(u).f(v) et f(1)=a.

    Auquel cas on montre la propriété énoncée par Lelouch sur N et Q, puis on étend à R par prolongement par continuité, comme l'a dit SchliesseB.

    De toute évidence définir la puissance réelle d'un nombre est loin d'être un concept facile à accepter.

  9. #8
    silk78

    Re : Fonction exeponentielle

    Bonjour,

    C'est vrai, il y a plusieurs définitions. D'ailleurs une autre connue et utilisée est il me semble la réciproque du logarithme népérien, si on définit celui-ci comme primitive de 1/x s'annulant en 1.
    On utilise alors la propriété ln(ab)=ln(a)+ln(b) pour prouver exp(a+b)=exp(a)exp(b).

    Ce que je me demande, c'est laquelle était la première historiquement parlant.

  10. #9
    Lelouch

    Re : Fonction exeponentielle

    Citation Envoyé par SchliesseB Voir le message
    arf' je dis n'importe quoi pour étendre à R puisque oui, par definition, a^x=exp(x ln(a)) pour x réel.
    Correct. Mais je ne pense pas (historiquement parlant) on a défini comme étant .
    D'ailleurs je ne vois pas l’utilité de cette définition puisqu'au moment ou l'on a découvert l'exponentielle on avait déjà une bonne idée de ce que représente une puissance d'un réel. Même si on néglige le cote historique que représenterait la notation ? Il faut donc au préalable définir que représente cette écriture ce qui revient a l'histoire des puissances.

    Voila comment je vois les choses avec mon modeste bagage mathématique. Veuillez me corriger s'il y a lieu.
    Lelouch

  11. #10
    Compol

    Re : Fonction exeponentielle

    Citation Envoyé par silk78 Voir le message
    Bonjour,

    C'est vrai, il y a plusieurs définitions. D'ailleurs une autre connue et utilisée est il me semble la réciproque du logarithme népérien, si on définit celui-ci comme primitive de 1/x s'annulant en 1.
    On utilise alors la propriété ln(ab)=ln(a)+ln(b) pour prouver exp(a+b)=exp(a)exp(b).

    Ce que je me demande, c'est laquelle était la première historiquement parlant.
    Neper a construit la fonction ln (primitive de 1/x) bien avant qu'Euler n'en déduise sa fonction réciproque (l'exponentielle) et toutes ses propriétés.
    Compol = Pol92joueur

  12. #11
    Compol

    Re : Fonction exeponentielle

    Pour ceux qui sont interessés, j'ai trouvé une belle démonstration de l'existence de la fonction exponentielle qui fait appel à l'inégalité de Bernouilli et aux suites : http://pagesperso-orange.fr/gilles.c...rs/EDexp03.pdf
    Compol = Pol92joueur

  13. #12
    S321

    Re : Fonction exeponentielle

    L'existence est triviale. ln est bijective donc elle admet une application réciproque dont il est facile de montrer qu'elle vérifie y'=y et y(0)=1.

    Pour l'unicité il suffit, comme il le font dans votre lien de considérer f1 et f2 qui vérifient les même hypothèse on arrive très vite à montrer que ces deux fonctions sont égales.
    Dernière modification par S321 ; 16/06/2010 à 19h01.

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