Fonction exeponentielle

[Lelouch]

Bonsoir,

Je viens de démontrer que par recurrence sur N puis j'ai réussi a l’étendre sur Z mais je n'arrive pas a étendre cette propriété sur R. Comment faire ?

Merci
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[SchliesseB]

etend sur Q
puis sur R par continuté de exp et densité de Q dans R

[silk78]

Je ne suis plus trop sur mais il me semble qu'on définit a^x avec x réel en utilisant l'exponentielle : exp(x*ln(a)).
Il me semble donc que prouver que exp(x)=e^x pour x réel est absurde.
En fait c'est plutôt le contraire : comme on observe cette propriété pour x naturel, on définit e^x comme étant l'exponentielle, et donc ensuite a^x grâce à l'exponentielle.

My two cents,
Silk

[danyvio]

Bonsoir,

Je viens de démontrer que par recurrence sur N puis j'ai réussi a l’étendre sur Z mais je n'arrive pas a étendre cette propriété sur R. Comment faire ?

Merci

Je ne comprends pas trop la question : et

signifient bien la même chose ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[silk78]

Oui ... mais c'est une propriété et non une définition.

La définition exacte de l'exponentielle est l'unique fonction qui est sa propre dérivée et qui vaut 1 en 0.

Ensuite à partir de cette définition, on va prouver que exp(a+b)=exp(a)exp(b). En utilisant cette propriété on prouve assez facilement par récurrence que exp(n)=eⁿ pour n entier.

Mais au "départ", on n'a pas exp(x)=e^x.

[SchliesseB]

arf' je dis n'importe quoi pour étendre à R puisque oui, par definition, a^x=exp(x ln(a)) pour x réel.

mais tu peux étendre à Q (les racines n-ieme ne sont pas définit par l'exponentielle).

[Plume d'Oeuf]

Bonjour,

La définition exacte de l'exponentielle est l'unique fonction qui est sa propre dérivée et qui vaut 1 en 0.

Je ne suis pas tout à fait d'accord. Il existe plusieurs définitions des fonctions exponentielles, entre autre celle que tu as citée. Mais on peut aussi appeler exponentielle de base a la fonction qui transforme un produit en somme et dont la valeur en 1 vaut a, i.e la fonction f définie sur R telle que f(u+v) = f(u).f(v) et f(1)=a.

Auquel cas on montre la propriété énoncée par Lelouch sur N et Q, puis on étend à R par prolongement par continuité, comme l'a dit SchliesseB.

De toute évidence définir la puissance réelle d'un nombre est loin d'être un concept facile à accepter.

[silk78]

Bonjour,

C'est vrai, il y a plusieurs définitions. D'ailleurs une autre connue et utilisée est il me semble la réciproque du logarithme népérien, si on définit celui-ci comme primitive de 1/x s'annulant en 1.
On utilise alors la propriété ln(ab)=ln(a)+ln(b) pour prouver exp(a+b)=exp(a)exp(b).

Ce que je me demande, c'est laquelle était la première historiquement parlant.

[Lelouch]

arf' je dis n'importe quoi pour étendre à R puisque oui, par definition, a^x=exp(x ln(a)) pour x réel.

Correct. Mais je ne pense pas (historiquement parlant) on a défini comme étant .
D'ailleurs je ne vois pas l’utilité de cette définition puisqu'au moment ou l'on a découvert l'exponentielle on avait déjà une bonne idée de ce que représente une puissance d'un réel. Même si on néglige le cote historique que représenterait la notation ? Il faut donc au préalable définir que représente cette écriture ce qui revient a l'histoire des puissances.

Voila comment je vois les choses avec mon modeste bagage mathématique. Veuillez me corriger s'il y a lieu.

[invite2b14cd41]

Bonjour,

C'est vrai, il y a plusieurs définitions. D'ailleurs une autre connue et utilisée est il me semble la réciproque du logarithme népérien, si on définit celui-ci comme primitive de 1/x s'annulant en 1.
On utilise alors la propriété ln(ab)=ln(a)+ln(b) pour prouver exp(a+b)=exp(a)exp(b).

Ce que je me demande, c'est laquelle était la première historiquement parlant.

Neper a construit la fonction ln (primitive de 1/x) bien avant qu'Euler n'en déduise sa fonction réciproque (l'exponentielle) et toutes ses propriétés.

[invite2b14cd41]

Pour ceux qui sont interessés, j'ai trouvé une belle démonstration de l'existence de la fonction exponentielle qui fait appel à l'inégalité de Bernouilli et aux suites : http://pagesperso-orange.fr/gilles.c...rs/EDexp03.pdf

[S321]

L'existence est triviale. ln est bijective donc elle admet une application réciproque dont il est facile de montrer qu'elle vérifie y'=y et y(0)=1.

Pour l'unicité il suffit, comme il le font dans votre lien de considérer f1 et f2 qui vérifient les même hypothèse on arrive très vite à montrer que ces deux fonctions sont égales.