Salut, je tente de prouver la formule A=4*pi*R2, mais je n'y arrive pas. Voici mon raisonnement:
D'aprèsun petit dessin dans un repère (O,i,j,k) je trouve:
A=avec R rayon de la sphère.
Par changement de variable : sin(theta)*R=z , donc dz=R*cos(theta).d(theta), donc si je ne me trompe pas :
A=
Voila, je trouve A=pi2*R2... après avoir intégrer le cos2 qui restait dans l'intégrale. Ou se situe mon erreur?
Excusez-moi, je débute en Latex...
Erreur dès le début : si le rayon de la couronne est bien la racine de R² - z², sa largeur ne vaut pas dz, qui serait la projection sur Oz, alors qu'il faut le prendre sur la sphère. Il y a un cos(théta) qui manque quelque part.
Je n'ai pas très bien compris, pourtant d'après Pythagore : z2+(sqrt(R2-z2))2=R2Envoyé par Jeanpaul
Veuillez m'éclairer , merci.
Non Jeanpaul a bien voulu dire dz dans son message (enfin, je crois) : il dit qu'en fait il ne faut pas intégrer selon dz mais selon quelque chose * dz car ce qu'il appelle la couronne (le cercle de rayon racine(R²-z²) situé à la hauteur z) n'a pas pour largeur dz (une variation infinitésimale de z) mais quelque chose * dz (ce qui correspond à une projection d'un tout petit arc de cercle sur dz). C'est le genre de truc dont l'on doit se méfier lorsque on utilise la calcul infinitésimal en géométrie.
Enfin, je cause, je cause, mais je ne sais pas du tout à quoi est égal ce quelque chose moi, j'aurais fait la même erreur
PS : pour LaTeX, utilise \pi et \theta pour les lettres grecques et utilises les accolades pour les bornes de tes intégrales, par exemple : \int^{\pi/2}_{0}.
Merci, je vois un peu mieux, cependant je me demande comment calculer en fonction de z la largeur de cette fameuse "couronne"...Non Jeanpaul a bien voulu dire dz dans son message (enfin, je crois
Enfin, je cause, je cause, mais je ne sais pas du tout à quoi est égal ce quelque chose moi, j'aurais fait la même erreur
PS : pour LaTeX, utilise \pi et \theta pour les lettres grecques et utilises les accolades pour les bornes de tes intégrales, par exemple : \int^{\pi/2}_{0}.
Je crois que j'ai raconté des bêtises avec ce cos(theta). Il me semble qu'en fait c'est plus simple que ça.
On a l'angle theta qui est l'angle entre un rayon de référence dans le plan xOy et un rayon de la sphère situé au dessus de lui lorsque l'on se place à la hauteur z (je ne sais pas si je suis clair). On notera ce rayon Or. On a donc bien z=R*sin(theta) et si on intègre le cercle situé sur la surface de la sphère en faisant varier theta de 0 à pi/2 on obtient bien la demi-sphère supérieure.
Maintenant, on va s'intéresser à notre élément d'intégration, que l'on notera dl : comme j'ai essayé de l'expliquer, il s'agit d'un petit arc de cercle, situé sur la sphère, qui en gros repère le déplacement de la pointe du rayon Or.
Si on fait un dessin, on observe facilement que dl est un arc de cercle de rayon R et d'angle d(thetha), on a donc dl=R*d(theta).
Le rayon du cercle reste toujours racine(R²-z²)=racine(R²-R²sin(theta))=Rsin(theta).
Le périmètre du cercle à l'angle theta est donc 2*pi*R*sin(theta).
Pour parcourir toute la surface de la demi-sphère, on fait varier theta de 0 à pi/2 selon un élément d'intégration dl=R*dtheta.
On a donc la surface de la sphère égale à :
CQFD
Voilà, j'espère que j'ai été clair.
D'accord, jusqu'ici, c'est exactement ce que j'ai fait, mais je n'ai sans doute pas été assez clair...
Ne serait-ce pas plutot : racine(R2-R2sin2(theta)=R*cos(theta) ?
D'accord, apperemment le résultat reste juste en remplaçant sin par cos dans l'intégrale. Merci, j'ai compris mon erreur. J'avais en fait pris dz comme élément d'intégration, ce qui était faux... Mais je ne vois toujours pas trop pourquoi cependant ...Le périmètre du cercle à l'angle theta est donc 2*pi*R*sin(theta).
Pour parcourir toute la surface de la demi-sphère, on fait varier theta de 0 à pi/2 selon un élément d'intégration dl=R*dtheta.
On a donc la surface de la sphère égale à :
CQFD
Voilà, j'espère que j'ai été clair.
Merci bien.
Cordialement, pol.
D'accord, après réflexion (ou plutot imagination) je pense avoir une "intuition" de mon erreur (je sais, c'est pas très bon ça en maths)...
Votre technique pour prendre l'élément d'intégration en tant qu'arc de longueur dl est plus logique, puisqu'il s'agit d'un angle... alors que moi, j'ai mélangé angles et hauteur, d'ou le résultat faussé...
J'espère que vous avez compris mon "intuition"...
Rebonjour,
Tu as bien évidemment raison, il y a un ² au sin et c'est 2piRcos(theta) en effet (mais comme tu l'as fait remarquer, on intègre de 0 à pi/2 donc le résultat de l'intégrale ne change pas). Maxi mea culpa.
Sinon, ben je dirais qu'il faut un élément d'intégration qui soit compris dans l'espace que tu veux calculer (je sais pas si je suis clair) donc si tu cherche à calculer une surface, ton élément d'intégration doit être compris dedans.
Merci, je comprend encore mieux maintenant
