olympiade :fonction

[invite528c70c1]

bonjour
j'ai trouve un exercice d'olympiade sur le net voila l'enoncé
soit f(1)=1996 et quelque soit n>1 on a n²f(n)=f(1)+f(2)+...+f(n-1)
j'ai remarque que f(1996)1996²=f(1)+...+f(1995)= f(1)+...f(1994)+1/1995²(f(1)+...f(1994)) et ainsi de suite jusqu'a
1996²f(1996)=(1+1/2²)(1+1/3²)...(1+1/1995²)f(1)
j'ai demontre par recurence que queleque soit n>2

on a n²f(n)=(1+1/(n-1)²)...(1+1/2²)f(1)
le probleme que j'ai c'est que je n'arrive pas a trouver le produit
(1+1/2²)(1+1/3²)...(1+1/1995²)f(1)

je vous demande de me dire si je suis dans la bonne piste et si c'est le cas donnez moi je vous en prie des astuces et non la reponse
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[hhh86]

quelle est la question exacte de cette exercice, peux-tu nous donner le lien exact ?

[hhh86]

c'est bon j'ai trouvé un lien, il faut expliciter f(1996)

http://forums.futura-sciences.com/ex...laises-nc.html

[invite528c70c1]

j'ai oublie excusez moi la question c'est calculez f(1996)

[A voir en vidéo sur Futura]

[hhh86]

On trouve en tout cas la même chose :
(n+1)²f(n+1)-n²f(n)=f(n)
(n+1)²f(n+1)=(n²+1)f(n)
f(n+1)/f(n)=(n²+1)/(n+1)²

mais je ne sais pas trop comme expliciter le produit de 0 à 1995 de cette expression

[hhh86]

On peut me semble-t-il, exprimer cette expression que sous la forme d'un produit

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

As-tu essayé d'exprimer , pour un entier k quelconque compris entre 2 et n-1, f(k) en fonction de f(k-1) ?

Et par récurence, l'expression de f(k) en fonction de f(1).

Tu devrais alors déduire une expression n²f(n) = f(1)xg(n)
avec g une fonction de n plutôt simple (sauf si erreur de calcul de ma part...)

Cordialement,
Duke.

[Elie520]

j'ai demontre par recurence que queleque soit n>2

on a n²f(n)=(1+1/(n-1)²)...(1+1/2²)f(1)

Eh bien tu l'as ta réponse là non ?

Pour n=1996 :



D'où :

Tu n'as plus qu'à trouver ce que cela fait maintenant.

[hhh86]

Moi personnellement, je trouve :


Donc

[hhh86]

Mince grillé par Elie520
Mais on trouve tout à partir du Message #5

[Elie520]

Mince grillé par Elie520

Lol, mais je n'ai fait que recopier le premier message

Non valeur sont égales ? je n'ai pas vérifié.

[Elie520]

Moi personnellement, je trouve :


Donc

En appliquant ton résultat à n=1996, on trouve tout pile deux fois celui que j'ai posté juste avant. Peut-être que c'est à partir de k=2 le produit ? Ou pour moi à partir de k=1 ... ^^

[hhh86]

As-tu pensé à comparer ton résultat avec f(2) ?

Sinon ma formule se démontre très bien par récurrence


Je vais vérifier néanmoins

[Elie520]

As-tu pensé à comparer ton résultat avec f(2) ?

Oui justement

On a donc : Crois-je.

[hhh86]

Moi personnellement, je trouve :


Donc

J'ai fait une erreur,

On a Pour tout n≥2, n²f(n)=f(1)+f(2)+...+f(n-1)
Donc pour tout n≥2, (n+1)²f(n+1)-n²f(n)=f(n)
(n+1)²f(n+1)=(n²+1)f(n)
f(n+1)/f(n)=(n²+1)/(n+1)² pour tout n≥2

Donc pour tout n≥2

[Elie520]

Donc :

D'où : Mais après ?

[hhh86]

bonne question

[hhh86]

http://www.wolframalpha.com/input/?i...%2B4%C2%B2%29*...

http://www.wolframalpha.com/input/?i...B1995%29%C2%B2

[Elie520]

Euh, c'est quoi ?

[hhh86]

Rajoute ... juste après le signe * pour le premier lien

[Elie520]

Ah ok, mais Mapple me donne presque la même chose, mais bon, est-ce utile ?

[hhh86]

c'est utile parce que cela prouve qu'il n'est pas nécessaire de chercher plus loin

[Elie520]

Ah oui, raisonnement pour le moins original, mais surement juste J'y avais pas pensé
Donc problème clos.