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olympiade :fonction



  1. #1
    einstein02

    olympiade :fonction

    bonjour
    j'ai trouve un exercice d'olympiade sur le net voila l'enoncé
    soit f(1)=1996 et quelque soit n>1 on a n²f(n)=f(1)+f(2)+...+f(n-1)
    j'ai remarque que f(1996)1996²=f(1)+...+f(1995)= f(1)+...f(1994)+1/1995²(f(1)+...f(1994)) et ainsi de suite jusqu'a
    1996²f(1996)=(1+1/2²)(1+1/3²)...(1+1/1995²)f(1)
    j'ai demontre par recurence que queleque soit n>2

    on a n²f(n)=(1+1/(n-1)²)...(1+1/2²)f(1)
    le probleme que j'ai c'est que je n'arrive pas a trouver le produit
    (1+1/2²)(1+1/3²)...(1+1/1995²)f(1)

    je vous demande de me dire si je suis dans la bonne piste et si c'est le cas donnez moi je vous en prie des astuces et non la reponse

    -----


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  3. #2
    hhh86

    Re : olympiade :fonction

    quelle est la question exacte de cette exercice, peux-tu nous donner le lien exact ?
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  4. #3
    hhh86

    Re : olympiade :fonction

    c'est bon j'ai trouvé un lien, il faut expliciter f(1996)

    http://forums.futura-sciences.com/ex...laises-nc.html
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  5. #4
    einstein02

    Re : olympiade :fonction

    j'ai oublie excusez moi la question c'est calculez f(1996)

  6. #5
    hhh86

    Re : olympiade :fonction

    On trouve en tout cas la même chose :
    (n+1)²f(n+1)-n²f(n)=f(n)
    (n+1)²f(n+1)=(n²+1)f(n)
    f(n+1)/f(n)=(n²+1)/(n+1)²

    mais je ne sais pas trop comme expliciter le produit de 0 à 1995 de cette expression
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    hhh86

    Re : olympiade :fonction

    On peut me semble-t-il, exprimer cette expression que sous la forme d'un produit
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

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  10. #7
    Duke Alchemist

    Re : olympiade :fonction

    Bonsoir.

    As-tu essayé d'exprimer , pour un entier k quelconque compris entre 2 et n-1, f(k) en fonction de f(k-1) ?

    Et par récurence, l'expression de f(k) en fonction de f(1).

    Tu devrais alors déduire une expression n²f(n) = f(1)xg(n)
    avec g une fonction de n plutôt simple (sauf si erreur de calcul de ma part...)

    Cordialement,
    Duke.

  11. #8
    Elie520

    Re : olympiade :fonction

    Citation Envoyé par einstein02 Voir le message
    j'ai demontre par recurence que queleque soit n>2

    on a n²f(n)=(1+1/(n-1)²)...(1+1/2²)f(1)
    Eh bien tu l'as ta réponse là non ?

    Pour n=1996 :



    D'où :

    Tu n'as plus qu'à trouver ce que cela fait maintenant.
    Quod erat demonstrandum.

  12. #9
    hhh86

    Re : olympiade :fonction

    Moi personnellement, je trouve :


    Donc
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  13. #10
    hhh86

    Re : olympiade :fonction

    Mince grillé par Elie520
    Mais on trouve tout à partir du Message #5
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  14. #11
    Elie520

    Re : olympiade :fonction

    Citation Envoyé par hhh86 Voir le message
    Mince grillé par Elie520
    Lol, mais je n'ai fait que recopier le premier message

    Non valeur sont égales ? je n'ai pas vérifié.
    Quod erat demonstrandum.

  15. #12
    Elie520

    Re : olympiade :fonction

    Citation Envoyé par hhh86 Voir le message
    Moi personnellement, je trouve :


    Donc
    En appliquant ton résultat à n=1996, on trouve tout pile deux fois celui que j'ai posté juste avant. Peut-être que c'est à partir de k=2 le produit ? Ou pour moi à partir de k=1 ... ^^
    Quod erat demonstrandum.

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  17. #13
    hhh86

    Re : olympiade :fonction

    As-tu pensé à comparer ton résultat avec f(2) ?

    Sinon ma formule se démontre très bien par récurrence


    Je vais vérifier néanmoins
    Dernière modification par hhh86 ; 30/06/2010 à 10h01.
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  18. #14
    Elie520

    Re : olympiade :fonction

    Citation Envoyé par hhh86 Voir le message
    As-tu pensé à comparer ton résultat avec f(2) ?
    Oui justement

    On a donc : Crois-je.
    Quod erat demonstrandum.

  19. #15
    hhh86

    Re : olympiade :fonction

    Citation Envoyé par hhh86 Voir le message
    Moi personnellement, je trouve :


    Donc
    J'ai fait une erreur,

    On a Pour tout n≥2, n²f(n)=f(1)+f(2)+...+f(n-1)
    Donc pour tout n≥2, (n+1)²f(n+1)-n²f(n)=f(n)
    (n+1)²f(n+1)=(n²+1)f(n)
    f(n+1)/f(n)=(n²+1)/(n+1)² pour tout n≥2

    Donc pour tout n≥2







    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  20. #16
    Elie520

    Re : olympiade :fonction

    Donc :

    D'où : Mais après ?
    Quod erat demonstrandum.

  21. #17
    hhh86

    Re : olympiade :fonction

    bonne question
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  22. #18
    hhh86
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

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  24. #19
    Elie520

    Re : olympiade :fonction

    Euh, c'est quoi ?
    Quod erat demonstrandum.

  25. #20
    hhh86

    Re : olympiade :fonction

    Rajoute ... juste après le signe * pour le premier lien
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  26. #21
    Elie520

    Re : olympiade :fonction

    Ah ok, mais Mapple me donne presque la même chose, mais bon, est-ce utile ?
    Quod erat demonstrandum.

  27. #22
    hhh86

    Re : olympiade :fonction

    c'est utile parce que cela prouve qu'il n'est pas nécessaire de chercher plus loin
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  28. #23
    Elie520

    Re : olympiade :fonction

    Ah oui, raisonnement pour le moins original, mais surement juste J'y avais pas pensé
    Donc problème clos.
    Quod erat demonstrandum.

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