Question ouverte

[invite6e518493]

Bonjour, Pour les vacances , le lycée nous a donné des exos pour ne pas arriver en cours et avoir tout oublier.
J'ai une question ouverte a faire.

Soit f la fonction définie sur R\{1}, par f(x)=2x/(x+1). On note H sa courbe représentative dans un repere orthonormé. m est un réel et on considere la droite D d'équation y=mx+1.
Discuter, selon les valeurs de m, du nombre de point d'intersection entre H et D.
La réponse sera justifiée. Faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse. On pourra utiliser un logiciel de géométrie pour visualiser le problème et éventuellement trouver une valeur approchée de la ou des réponses.

Je n'ai jamais eu a faire d'exercice de ce genre et je ne vois pas par où commencer. Je vous demande une piste pour pouvoir commencer ce problème.

Merci.
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[Jon83]

Si on appelle d(x) l'équation de la droite, les point d'intersections vérifient l'équation f(x)=d(x).
Il te suffi de résoudre et de discuter suivant les valeurs de m!!!
A toi de jouer...

[invite6e518493]

Je ne vois pas comment faire. :s
J'ai essayer 2x/(x+1)= mx+1 et en simplifiant je trouve mx=1
Je suis complètement perdu
Pourrais-tu m'expliqué
merci

[Jon83]

Tu as dû faire une erreur: vérifie tes calculs...
Tu as 2x/(x+1)=mx+1
Si tu réduis au même dénominateur, tu vas probablement avoir un polynôme du second degré dont tu dois savoir trouver les racines...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6e518493]

je fais:
2x/(x+1)=mx+1
2x=(mx+1)(x+1)
2x=mx²+mx+x+1
mx²+mx-x+1=0

Est-ce que c'est bon?

[Jon83]

Oui! Tu réduits sous la forme d'un trinôme de la forme générale ax²+bx+c et tu cherches les racines: le discriminant va dépendre de m. Il ne te restera plus qu'à étudier les différentes possibilités...

[invite6e518493]

mx²+mx-x+1=0 est de la forme ax²+bx+c=0 ou je peux encore le modifier pour ne plus avoir mx-x?

[Jon83]

dans les deux termes mx et -x, tu peux mettre x en facteur ...

[invite6e518493]

donc cela donne mx²+(m-1)x+1=0 ?
Si c'est ça, il faut que je prenne différente valeurs pour m?

[Jon83]

L'équation est correcte. Tu constate que c'est une équation du second degré en x.
Tu dois savoir que, pour x appartenant à R, ce type d'équation n'a de solutions dans R que si le discriminant delta=b²-4ac est positif ou nul.
Il faut donc que tu calcules ce déterminant...Ensuite on voit!!!

[invite6e518493]

je pense ne pas avoir compris.
J'ai fais delta:
b²-4ac = (m-1)²-4*m*1
= m²-2m+1-4m
=m²-6m+1
Je ne vois pas a quoi cela mene.

[Jon83]

C'est correct! Mais ça se complique légèrement car le discrimant est lui même un trinôme du second degré en m de la forme am²+bm+c (a=1, b=-6,c=1)
Tu dois savoir que ce type de trinôme est du signe de a (c'est à dire positif dans ce cas car a=+1) à l'extérieur des racines.
Il faut donc maintenant chercher les racines de ce nouveau trinôme, et tu pourras conclure...

[invite6e518493]

m²-6m+1:
delta=32
2solutions: m=3+2*(racine²)2 et m=3-2*(racine²)2

Je dois donc remplacer le m dans mx²+(m-1)x+1=0 par les m que je viens de trouver?

[Jon83]

Tes racines sont correctes: m1=3-2*racine(2) et m2=3+2*racine(2).
Donc, le trinôme m²-6m+1 sera positif pour m appartenant à l'intervalle:
I=]-infini, m1[ union ]m2, +infini[ et il sera nul pour m=m1 ou m=m2.
En définitive, l'équation initiale aura 2 solutions dans l'intervalle I, une seule solution pour m=m1 ou m=m2, et pas de solution pour m appartenant à ]m1, m2[
Conclusion:
- pour m appartenant à I il y aura deux points d'intersection,
- pour m=m1 ou m=m2 il y aura un seul point d'intersection
- pour m compris entre ]m1, m2[ il n'y aura pas de point d'intersection

[invite6e518493]

merci beaucoup. pour l'intervalle, faut-il faire un tableau de signe?

[Jon83]

Non, pas besoin de tableau: tu utilises les propriétés du signe d'un trinôme du second degré ax²+bx+c apprises en cours: il est du signe de a à l'extérieur des racines.

[invite6e518493]

merci beaucoup. Je pense que tout seul je n'aurai pas pu m'en sortir.

[Jon83]

Pour être complet, il faut envisager le cas où m=0: l'équation se réduit au premier degré et a une seule solution. Donc, pour m=0 il n'y a qu'un point d'intersection!

[invite6e518493]

pourrais tu m'aider sur l'autre exo stp. C'est suite arithmétique .

Merci

[Jon83]

Pour terminer, si tu as une adresse mail (tu me la communiques en message privé), je peux t'envoyer le fichier GéoplanGéospace qui permet de visualiser la courbe H et de faire varier la droite D. Ainsi, en fonction de m, tu matérialises les différents cas étudiés.