Nombres critiques d'une fonction trigonométrique

[invitedf400230]

Bonjour à tous,

J'ai de le difficulté à comprendre comment trouver les nombres critiques dans des fonctions trigonométriques.

Voici un exercice que je ne peux résoudre...

F(t)= (sin t) - (t /2), où t appartient à l'ensemble [0,2pï]

Voici la première dérivée:

F'(t)= (cos t) - (1/2) .....nombres critiques du corrigé: 0, (pi/3),(5pi/3) et 2pi

La seconde:

F''(t)= -sin t .......nombre critique du corrigé: pi


Je sais qu'il faut égaliser F(t) à zéro et résoudre, mais bon je ne comprend pas comment on peut trouver plusieurs nombres critiques à partir d'une fontion......

Merci d'avance pour votre aide
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[Cuv]

Salut !

qu'entends tu par nombres critiques ? Tu veux trouver les extremums de la fonction où les points où celle-ci s'annule ?

[invitedf400230]

Les points de subdivisions, pour pouvoir bâtir un graphique à partir de la fonction

Def: Les points de subdivisions sont les valeurs de x où la dérivée première et seconde s'annule ou n'existe pas.

[Cuv]

Ok je n'avais jamais entendu cette appellation.

Bon alors ta fonction :

Sa dérivée première s'écrit, comme tu l'as dit :

Ok je n'avais jamais entendu cette appellation.

Bon alors ta fonction :

Cette fonction est définie sur tout donc il n'y a pas de point où elle "n'existe pas" comme tu dis. En revanche elle s'annule pour tous les points tels que :

là tu dois reconnaître des valeurs de bases du cosinus et donc que :

la fonction cosinus étant paire sur tu as aussi :

mais comme tu travailles dans , ce point correspond à . Pour le vérifier trace un cercle de rayon 1 et le symétrique du point par rapport à l'axe des abscisses et compte le nombre de fois qu'apparaît l'angle lorsque tu rejoins les deux points en parcourant le cercle dans le sens trigonométrique.

On a donc deux points critiques.


La dérivée seconde, tu as encore raison s'écrit :

là encore cette fonction est définie partout et donc on ne cherche que les points où elle s'annule. Pas trop de difficutlé dans ce cas puisque l'équation : admet trois solutions dans qui sont : , et .

Finalement les points où la dérivée première et seconde s'annulent sont :

.

Ce qui m'amène à dire qu'il y a une erreur dans ton message, tu dis que la dérivée première s'annule en et . Ce n'est pas le cas, en ces points la fonction cosinus vaut 1... Peut-être ai-je mal compris ton message.

J'espère que ça t'a aidé... Pour comprendre pourquoi on peut trouver plusieurs points vérifiant la même équation pense à tracer un cercle et tu verras qu'une même valeur de cosinus ou de sinus correspond, sur à deux valeurs à chaque fois.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedf400230]

Merci beaucoup.

Donc je retiens qu'il faut travailler avec le cercle.

En ce qui concerne 0 et 2pi, j'ai fait une erreur, ils sont en lien avec F(t)= (sin t) - (t /2)

Bye

[invitedf400230]

Autre question,

Dans le cas de F'(t)= cos x - sin x

comment procéder pour trouver les points de subdivisons

[Cuv]

Dans ce cas tu as plusieurs options :

1° :

Tu sais d'emblée que les fonctions cosinus et sinus prennent les mêmes valeurs pour des angles de 45, 215 et valent alors et respectivement. Pour info la correspondance en radians serait et . Là encore regarde ton cercle tu le verras assez bien.

2° :


Tu as une relation qui te donne : donc tu es finalement amené à rechercher les valeurs de x qui annulent .
Or .

cela découle de la propriété :

donc finalement on cherche les x qui annulent
j'ai simplifier directement mais ce ne sont que des additions et divisions cela ne devrait pas te poser de problème.
On remarque alors que pour que cette expression soit nulle il faut que puisque les autres termes sont des constantes non nulles. Là on s'est ramené à un problème bien plus facile puisque c'est comme résoudre avec
Or pour et , toujours si l'on reste dans l'intervalle . Donc les x que tu cherches sont :

et

Voilà n'hésite pas à revenir si tu n'as pas compris quelque chose.

bonne soirée à toi

[Cuv]

Dis moi aussi si tu as appris ces relations trigonométriques en cours, car elles sont bien pratiques

[invitec8475164]

Bonjour,
Après 3h de recherches, me voila sur le net a bout d'idées. Votre sujet de discussion correspond exactement a ma recherche, surtout la deuxieme question. Évidement j'ai essayé l'option n'2 mais elle se semble pas marcher dans mon cas : j'ai une fonction f(x)= cosx+3sinx
Je dois trouver le max et le min.
Quand je derive, on a f'(x) = 3cosx - sinx
Quand je cherche f'(x)= 0 j'arrive a trouver x=arctan(3)
C'est le maximum. Mais pour déterminer le.minimum problème...
Auriez vous une idée ?
Merci beaucoup d'avance pour votre aide.

[gg0]

Bonjour.

Quand je cherche f'(x)= 0 j'arrive a trouver x=arctan(3)

Il serait bien de trouver toutes les solutions, pas une seule !

Rappel : où k est n'importe quel entier relatif.
Propriété assez évidente sur le cercle trigo.

Cordialement.

NB : cosx+3sinx est une fonction sinusoïdale, donc cos x+3sin x = a sin(x + b) où a et b sont assez faciles à déterminer. Par exemple en posant 3=tan(b). Et ainsi on détermine max et min sans même dériver.

[invitec8475164]

Merci de votre réponse
seulement j'ai déjà essayé avec les ajouts de k*pi (je ne sais pas encore comment m'y prendre pour faire des citations sur ce forum) et en l’occurrence, je cherchais un minimum en particulier mais qui correspondait à un x inférieur à -pi/2. Or je trouve les x grace à arctan(3+kpi) et arctan a son image que entre -pi/2 et pi/2 donc je ne voyais pas comment x pouvait prendre cette valeur. Donc je me suis dis, peut être à tord qu'il me fallait une autre méthode.
De plus, pourriez vous m'expliquer un peu plus en détail la deuxième partie ? car je ne vois pas du tout comment de cosx+ 3 sin x vous passez à (a sin (x +b)). La logique m'échappe, au risque de paraitre une imbécile mais j'aime mieux le savoir à partir de maintenant plutot que ne pas ouvrir ma bouche ^^
Cordialement

[gg0]

Ok !

Tout d'abord, il s'agit de arctan(3) +k.pi et comme k peut être négatif, en prenant déjà k=-1 on se retrouve avant -pi/2 (très exactement entre -Pi et -Pi/2).

Pour la transformation, on pose
donc


Ce qui permet de trouver un maximum pour x=b+k.2pi, et un minimum pour x=b+pi+k.2pi.
Ce n'est pas tout à fait la forme annoncée car j'ai fait au plus simple, mais on peut arriver à un sinus :



Cordialement.

[invitec8475164]

D'accord, j'ai compris ^^ Mais il fallait y penser à cette transformation, j'ai jamais rien croisé de tel dans mes cours qui m'aurait amenée à penser que c'était plus simple comme cela :/
Donc merci beaucoup

P.S : juste une petite dernière comme ca je serais une vraie pro à ce sujet : pourquoi pour trouver les conjugués des angles cos et sin, on met le 2kpi dans la parenthèse : cos (téta + 2kpi) et pour actan on le met à l'extérieur : arctan (téta) + kpi ? Et est ce pareil avec arcsin, arccos et tan ?
Cad a t'on comme conjugué arcsin(téta + 2kpi), arccos(téta + 2kpi) et tan (téta) + kpi ?

[gg0]

Le k.2pi est un angle, un argument de sin, cos et tan. Arcsin, arccos et arctan sont par définition des arguments de sin, cos et tan, des angles.
Il serait bon que tu reprennes les bases de la trigo (cercle trigo, ... programme de première) puis revoies les définitions des fonctions trigonométriques inverses. Tu verras alors que c'est bien plus simple que tu ne le penses aujourd'hui et que tu en as 10 fois moins à apprendre ...

Cordialement.