Problème avec une boite cartonnée 1ère S

[invite64e74229]

Bonjour à tous !

J'passe en terminale S et j'ai fais une très mauvaise année en math donc j'revise.

Et il y a un problème sur lequel je ne trouve aucun point de départ.

Voici l'énoncé :

"On donne une feuille de carton rectangulaire de côtés 30 et 14 cm. On enlève dans chaque coin un carré de côté x afin d'obtenir après pliage, une boîte en forme de pavé.
Quelle doit être la valeur de x pour que le volume de la boîte soit maximal ?"

Bon j'imagine qu'il faut caclculer l'extremum de quelque chose mais j'avoue être complètement perdu et un peu d'aide ne serait pas de refus (pas de solution complète bien entendu, juste quelques pistes, une structure organisationnelle).

Merci par avance.
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[apzo11]

Bonjour,
il faut exprimer le volume en fonction de x.
il faut connaitre la formule de volume d'un cube: facile
tu détermines le max de l'équation:
tu en sors X
apzo11

[inviteb9469e86]

Bonjour,

Le plus simple : commence par faire un dessin comme il est indiqué dans l'énacé : un rectangle de 30 sur 14.
Dessine dans chaque coin un carré de côté x centimètres (prends par exemple x = 2) et le rectangle intérieur qui s'appuie sur les 4 carrés
Marque sur la figure toute tes dimensions : 30 ; 14 ; 30 - 2 x et 14 - 2 x
Regarde ensuite une boîte d'allumettes et remarque à quoi correspondent toutes tes dimensions sur la boîte
Tu vas ensuite trouver facilement le volume : V = x * (14 - 2 x) * (30 - 2 x)
C'est cette fonction que tu devras étudier

[invite64e74229]

Ok, donc après pour étudier la fonction, j'calcule la dérivée puis le discriminant et ensuite les racines.

La dérivée V' = 12x² - 176x + 420
= 3x² - 44x + 105

Delta = 676

Ainsi les deux racines x = 3 et x' = 35/3.

Mais arrivé là que fois-je faire ? Car je dois trouver une seule valeur de x ou le volume est maximal.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb9469e86]

Tout d'abord x doit être compris entre 0 et 7 (pour que la longueur 14 - 2 x soit positive)
tu fais un tableau de variation de f :
f est croissante sur [0 ; 3], décroissante sur [3 ; 7] donc admet un maximum en 3 (tu ne t'occupes pas de x = 35/3 qui n'est pas dans le domaine de définition)
Le volume est maximal si x = 3

[invite3cc91bf8]

C'est bien, mais ne t'arrête pas en si bon chemin
Tu as pour la dérivée, donc ...

Il faut voir l'exercice avec une bonne figure :
Voir comme j'ai fait un logiciel de géométrie dynamique qui m'a permis de conjecturer la réponse.

Sur ce patron, on peut voir :
- la base rectangulaire (le rectangle du centre) de longueur et de largeur
- la hauteurs du cube qui est .
Donc, le volume est

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simplification :
calcul de la dérivée :
calcul du signe de la dérivée :
Comme ,
Par la règle du signe du trinôme : V' est positive sur [0;3] et négative sur [3;7]
conséquence pour la fonction : Par le théorème de Laplace : est croissante sur [0;3] et décroissante sur [3;7]
Comme change de variation en et que , on peut en conclure que admet un maximum en 3.

[invite64e74229]

Merci à vous vous m'avez beaucoup aidé ! J'ai tout compris maintenant ^_^