[Complexes] C = R² ?

[inviteb90b824a]

Bonjour,

Je viens de quitter le lycée mais j'ai tout de même une petite question de niveau lycéen qui m'est venue à l'esprit tout à l'heure.

L'ensemble des complexes ℂ est-il égal à celui des couples de réels ℝ² ? Car après tout, tous les nombres de type x + iy peuvent s'écrire sous la forme de couple (x ; y), non ?!

Dès lors, a-t-on le droit d'écrire (j'invente, mais c'est peut-être possible !) que ℂ = ℝ + {(ki), k∈ℤ} ?

Merci d'avance !
-----

[Seirios]

Bonjour,

En fait, correspond à muni de lois de compositions spécifiques, puisqu'il n'y a pas de définitions canoniques pour l'addition ou la multiplication dans .

[invite1e1a1a86]

Si, il y a bien une addition canonique dans (qui correspond d'ailleurs à celle de lorsqu'on utilise "l'association" entre les deux espaces donnés par Iris)



après, il n'y a pas de multiplication canonique dans mais si on le munit de l'opération:
alors on retrouve toute les propriétés de

(à comparer à: )

[inviteb90b824a]

Merci pour la réponse Phys2 ! Néanmoins, n'est-il pas possible d'additionner/multiplier des couples de réels ? Il me semble avoir déjà vu des opérations du style (x1 ; y1) + (x2 ; y2) = (x1 + x2 ; y1 + y2). Ou encore λ × (x1 ; x2) = (λx1 ; λx2)...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb90b824a]

Bonsoir Schieless, et merci de ta réponse. Mais que signifie l'étoile ? Je ne reconnais pas là la multiplication..

[Seirios]

Si, il y a bien une addition canonique dans (qui correspond d'ailleurs à celle de lorsqu'on utilise "l'association" entre les deux espaces donnés par Iris)

C'est vrai j'ai parlé un peu vite, désolé...

Néanmoins, n'est-il pas possible d'additionner/multiplier des couples de réels ? Il me semble avoir déjà vu des opérations du style (x1 ; y1) + (x2 ; y2) = (x1 + x2 ; y1 + y2). Ou encore λ × (x1 ; x2) = (λx1 ; λx2)...

Les deux lois de compositions que tu mentionnes proviennent de la structure canonique d'espace vectoriel de (donc il existe bien une addition canonique sur cet ensemble) ; pour la multiplication, il ne s'agit que d'une multiplication par un scalaire (loi de composition externe) et non d'une multiplication entre éléments de . Mais si tu définis la multiplication dans comme la fait SchliesseB, alors tu trouves (l'étoile représente le symbole de multiplication dans pour le différencier de celui dans , mais ce n'est pas une notation universelle).

[inviteb90b824a]

Arf, je n'ai pas encore connaissance de tous ces termes : espaces vectoriels, lois de composition... mais je pense voir à peu près de quoi il s'agit. Ça a l'air d'être des sortes d'opérations que l'on définit pour tel ou tel ensemble donné... non ? Enfin je me doute que j'apprendrai tout ça tôt ou tard dans l'année !

Merci à vous en tout cas, je comprends désormais la nuance entre C et R² qui m'a turlupinée pendant une bonne partie de la matinée.