[TS Spé Maths] Divisibilité, besoin d'aide; élève désemparé.

[invite6fcfc2c7]

Bonjour tout le monde !

Eh bien voilà, enfin je me résous à écrire mon problème sur ce forum, en espérant que de bonnes âmes pourront m'aider.

Je suis un élève en TS spé maths - comme indiqué dans l'intitulé du post - qui vient d'avoir son premier cours de spé cette semaine. J'ai toujours été bon en maths, et c'était toute confiant que j'y assistai. Et j'en suis ressorti désemparé: notre prof ne nous a guère prêtés attention, nous a écrit le cours au tableau et nous a donné des exercices. Je vous laisse deviner la suite: j'ai recopié bêtement ses indications, et je n'arrive pas à comprendre l'exercice.

Le voici:

Soit n un entier naturel. On appelle A(n) le nombre n(n+1)(n+2).
1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, A(n) est divisible par 3.
2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, A(n) est divisible par 6.
3. Donner une condition sur n pour que A(n) soit divisible par 2.


Avant ça, on a démontré cette propriété: le produit de deux nombres est pair. Mais j'ai lu dans le livre qu'il pouvait être impair si les deux nombres étaient impairs. Est-ce que je me serais trompé dans la rédaction ? N'est-ce donc pas plutôt le produit de deux nombres consécutifs ?

Pour le 1., j'ai essayé de prendre exemple sur la démonstration dont j'ai parlé ci-dessus:
A(n) est divisible par 3 => n=3k
Donc n+1 = 3k+1 et n+2 = 3k+2
Donc n(n+1)(n+2) = 3k(3k+1)(3k+2).
=> donc A(n) est divisible par 3.

Selon mon prof, ce n'est pas suffisant. Il faut aussi le démontrer pour n=3k+1 et n=3k+2. Pourquoi ? Je ne comprends même pas pourquoi on commence avec n=3k. J'ai beau lire et relire mon cours, lire et relire le livre, chercher et re-chercher sur internet des cours, je ne comprends pas. Je ne veux pas le corrigé de l'exercice, je veux juste comprendre. Notre prof nous a expliqué qu'en Spé Maths, il fallait avoir une autre manière de raisonner. Laquelle ? J'aimerais l'acquérir, mais seule, je n'y arrive pas.

S'il vous plait, aidez-moi, je cherche en vain, et ça m'énerve de ne pas réussir, alors que ça a l'air très simple! Je me sens bête.

Merci.
-----

[invite2bc7eda7]

Avant ça, on a démontré cette propriété: le produit de deux nombres est pair.

Ceci est faux, prends 3 et 3 par exemple. Le produit de deux termes consécutifs est pair : si tu as deux termes consécutifs, tu en auras un pair (que tu peux ecrire 2k) et l'autre impair (que tu peux ecrire 2k+1) le produit est donc divisible par 2...

Selon mon prof, ce n'est pas suffisant. Il faut aussi le démontrer pour n=3k+1 et n=3k+2.

Il a rasion, ce n'est pas suffisant car tu le démontres dans un seul cas, pour la cas n est un multiple de 3, mais il y a plein de nombres qui ne sont pas des multiples de 3 : 7, 11, 998 par exemple...

Donc, pour considérer tous les cas, il faut le faire pour les multiples de 3 et les autres... : donc pour le cas n=3k, pour le cas n=3k+1 et pour le cas n=3k+2 comme ca tu as fait toutes les possibilités.

J'espere que tu comprends mieux maintenant

Bon courage

Mystérieux1

[invite6fcfc2c7]

Merci beaucoup Mysterieux1 de ta réponse.
Je me disais bien que la propriété avait un problème; j'ai dû mal noter alors.

Par contre:

Donc, pour considérer tous les cas, il faut le faire pour les multiples de 3 et les autres... : donc pour le cas n=3k, pour le cas n=3k+1 et pour le cas n=3k+2 comme ca tu as fait toutes les possibilités.

Je ne comprends pas pourquoi toutes les possibilités se résument à n=3k, n=3k+1 et n=3k+2. Pourquoi pas n=3k+5 ? Quelle est la différence entre n=3k+1 et n=3k+2 ? Est-ce parce que 1 est impair et que 2 est pair ? (désolé, j'ai dû mal à tout saisir...)

Merci!

[invite6fcfc2c7]

Par ailleurs, par rapport à la 2ème question, notre prof nous a donné ce corrigé:

A(n) est divisible par 3 (d'après 1.) et le produit de deux termes consécutifs est pair. Or 2 et 3 sont premiers entre eux.
Donc A(n) est divisible par 6.


Ce que je ne comprends pas trop: A(n) est constitué de trois termes consécutifs. Est-ce que la propriété marche quand même, alors ? Et pareil si A(n) avait été égal à n(n+1)(n+2)(n+3) ? (c-a-d 4 termes consécutifs). Et comment se fait-il que A(n) soit divisible par 6 juste parce que 2 et 3 sont premiers entre eux ? Et pourquoi "entre eux" ?
Je sais que je pose beaucoup de questions, mais j'avoue avoir du mal à tout saisir! Et je parle même pas de la question 12: je patauge.

Merci beaucoup de votre aide!

PS: Désolé du DP, mais j'ai pas réussi à éditer!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2bc7eda7]

Pourquoi tous les cas sont considérés?

On considère un nombre entier quelconque: on a 2 possibilités (et une sous possibilité...) : soit il est multiple de 3, soit il ne l'est pas.
Dans le premier cas, il peut s’écrire n=3k. Dans le deuxieme tu sais juste que , donc tu peux essayer de l’écrire ou . Car si tu l’écris en posant tu aurais ce qui n'est pas possible d’après la propriété que j'ai cité juste au dessus... Si tu essayes de l'ecrire par exemple tu te ramènes (en prenant) au cas et ainsi de suite... (si tu as vu les congruences ca s'explique en deux lignes... http://fr.wikipedia.org/wiki/Congruence)

cela n'a donc rien a voir avec la parité de 1 et 2...

Et pourquoi "entre eux" ?

En mathématiques, on dit que des entiers a et b sont premiers entre eux, que a est premier avec b ou encore que a et b sont copremiers s'ils n'ont aucun facteur premier en commun ; en d'autres termes, s'ils n'ont aucun diviseur autre que 1 et -1 en commun. De manière équivalente, ils sont premiers entre eux si et seulement si leur plus grand commun diviseur est égal à 1. (Wikipédia est assez bien fait ^^)

C'est bien de poser des questions!

[invité576543]

Ce que je ne comprends pas trop: A(n) est constitué de trois termes consécutifs.

Donc il est multiple du produit de deux nombres consécutifs ! (De deux manières différentes) Qui peut le plus peut le moins...

Et pourquoi "entre eux" ?

Si tu ne connais pas cette notion, je comprends que tu sois désemparé. "Premiers entre eux" <=> pgcd égal à 1 (= pas de diviseur commun autre que 1).

Et comment se fait-il que A(n) soit divisible par 6 juste parce que 2 et 3 sont premiers entre eux ?

C'est un théorème essentiel pour la spé math ("si un nombre est divisible par n et m, n et m premiers entre eux, alors il est divisible par le produit nm"), faut que tu l'apprennes, le comprennes, et en connaisses la démonstration. Si c'est pas dans tes notes, faut chercher dans un texte de référence.

---

Pas facile de t'aider, parce que ce sont les bases qui manquent, et c'est difficile de faire un cours dans un forum !

Par exemple, pourquoi seulement 3 cas ? Simplement parce que le reste de la division euclidienne par 3 n'a que trois valeurs possibles, 0, 1 ou 2.

[invite6fcfc2c7]

Ah d'accord, je vois!

Je comprends mieux maintenant, et j'avoue avoir quelques petites lacunes; je vais me hâter d'y remédier!

Merci beaucoup!!